Bestvina-Mess-Formel

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine hyperbolische Gruppe, dann gilt für die Dimension ihres Randes ${\displaystyle \partial _{\infty }\Gamma }$:

${\displaystyle \dim(\partial _{\infty }\Gamma )=\max \left\{n\colon H^{n}(\Gamma ,\mathbb {Z} \Gamma )\not =0\right\}.}$

Insbesondere gilt für torsionsfreie hyperbolische Gruppen

${\displaystyle \dim(\partial _{\infty }\Gamma )=cd(\Gamma ),}$

wobei ${\displaystyle cd(\Gamma )}$ die kohomologische Dimension der Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ bezeichnet.

Die Bestvina-Mess-Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von ${\displaystyle R\Gamma }$-Moduln (für einen beliebigen Ring ${\displaystyle R}$):

${\displaystyle H^{i}(\Gamma ,R\Gamma )\cong {\check {H}}(\partial \Gamma ,R),}$

wobei die rechte Seite die Čech-Kohomologie des Randes ${\displaystyle \partial \Gamma }$ mit Koeffizienten im Ring ${\displaystyle R}$ bezeichnet.

Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz.

Sei ${\displaystyle P(\Gamma )}$ der Rips-Komplex der hyperbolischen Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$. Dann ist ${\displaystyle {\overline {P(\Gamma )}}:=P(\Gamma )\cup \partial _{\infty }\Gamma }$ ein absoluter Retrakt und ${\displaystyle \partial _{\infty }\Gamma }$ eine ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$-Menge in ${\displaystyle {\overline {P(\Gamma )}}}$.

Letzteres bedeutet, dass es für jede abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle A\subset \partial _{\infty }\Gamma }$ eine Homotopie ${\displaystyle H\colon {\overline {P(\Gamma )}}\times \left[0,1\right]\to {\overline {P(\Gamma )}}}$ mit ${\displaystyle H_{0}=id}$ und ${\displaystyle H_{t}\vert _{A}=id}$ gibt, so dass

${\displaystyle H_{t}({\overline {P(\Gamma )}}\setminus A)\subset {\overline {P(\Gamma )}}\setminus \partial _{\infty }\Gamma }$

für alle ${\displaystyle t>0}$ gilt.

Bestvina und Mess benutzen ihre Formel, um den folgenden Satz über die lokale Topologie des Randes zu beweisen:

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine hyperbolische Gruppe. Es gebe einen Ring ${\displaystyle R}$ und ein ${\displaystyle i>0}$ für das ${\displaystyle H^{i}(\Gamma ,R\Gamma )}$ endlich erzeugt und nicht Null ist. Wenn ${\displaystyle \partial _{\infty }\Gamma }$ zusammenhängend ist, dann ist es lokal zusammenhängend.

Für die Fundamentalgruppen ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}M}$ geschlossener, irreduzibler 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ beweisen sie, dass ${\displaystyle \partial _{\infty }\Gamma }$ homöomorph zur 2-Sphäre und die universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, sowie ${\displaystyle {\widetilde {M}}\cup \partial _{\infty }\Gamma }$ homöomorph zur abgeschlossenen 3-Kugel ${\displaystyle B^{3}}$ ist.

In höheren Dimensionen ${\displaystyle n\geq 6}$ gilt der analoge Satz, dass für eine torsionsfreie, hyperbolische Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$, die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen, asphärischen ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle {\widetilde {M}}\cong \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\widetilde {M}}\cup \partial _{\infty }\Gamma \cong B^{n}}$ ist, der Rand homöomorph zu ${\displaystyle S^{n-1}}$ sein muss.[1]

• M. Bestvina, G. Mess: The boundary of negatively curved groups. J. Amer. Math. Soc. 4, 469–481 (1991).

1. A. Bartels, W. Lück, S. Weinberger: On hyperbolic groups with spheres as boundary. J. Diff. Geom. 86, 1-16 (2010).