Beschränkte Kohomologie

Für eine diskrete Gruppe ${\displaystyle G}$ betrachtet man den Kettenkomplex ${\displaystyle (\mathbb {\mathbb {R} } [G^{n}],d_{n})}$ mit

${\displaystyle d_{n}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i-1},\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n}).}$

Die beschränkte Kohomologie ${\displaystyle H_{b}^{*}(G)}$ ist dann die Kohomologie des Komplexes ${\displaystyle (C_{b}^{n},d^{n})}$ mit

${\displaystyle C^{n}=\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1}),\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \}}$

und

${\displaystyle (d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i-1},\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n+1}),}$

wobei die Norm ${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }}$ durch

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }:=\sup \left\{\vert f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\vert \colon (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in G^{n}\right\}}$

definiert ist. Sie induziert eine Halbnorm auf der beschränkten Kohomologie durch

${\displaystyle \Vert c\Vert =\inf \left\{\Vert f\Vert _{\infty }\colon \left[f\right]=c\right\}}$

für ${\displaystyle c\in H_{b}^{*}(G)}$.

Äquivalent kann man ${\displaystyle H_{b}^{*}(G)}$ als Kohomologie der ${\displaystyle G}$-Invarianten einer beliebigen starken, relativ injektiven Auflösung des trivialen ${\displaystyle \mathbb {R} \left[G\right]}$-Moduls ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definieren.

Insbesondere ist für einen CW-Komplex ${\displaystyle X}$ mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X=G}$ die Kohomologie des Komplexes der ${\displaystyle \pi _{1}X}$-invarianten, beschränkten Koketten der universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ (äquivalent der beschränkten Koketten auf ${\displaystyle X}$) isomorph zu ${\displaystyle H_{b}^{*}(G)}$.

• Beschränkte Kohomologie ist trivial für mittelbare Gruppen.
• Für hyperbolische Gruppen ist die Vergleichsabbildung ${\displaystyle H_{b}^{*}(G)\to H^{*}(G)}$ surjektiv für ${\displaystyle *\geq 2}$.
• Für kokompakte, irreduzible Gitter in Lie-Gruppen vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ ist die Vergleichsabbildung ${\displaystyle H_{b}^{2}(G)\to H^{2}(G)}$ injektiv.

• Nicolas Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups. Lecture Notes in Mathematics. 1758. Springer, Berlin 2001.
• Roberto Frigerio: Bounded cohomology of discrete groups. Mathematical Surveys and Monographs 227. Providence, RI: American Mathematical Society (2017).