Bernoulli-Dreieck

Für jede nicht negative ganze Zahl ${\displaystyle n}$ und für jede ganze Zahl ${\displaystyle k}$ zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle n}$ ist die ${\displaystyle n}$-te Zeile und ${\displaystyle k}$-te Spalte des Bernoulli-Dreiecks gegeben durch die Summe der ersten ${\displaystyle k}$ Binomialkoeffizienten ${\displaystyle n}$-ter Ordnung:

${\displaystyle \sum _{p=0}^{k}{\binom {n}{p}}}$

Die ersten Zeilen des Bernoulli-Dreiecks lauten:

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccccccccc}&k&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\\6&&1&7&22&42&57&63&64\\7&&1&8&29&64&99&120&127&128\\8&&1&9&37&93&163&219&247&255&256\\9&&1&10&46&130&256&382&466&502&511&512\end{array}}}$

Ähnlich wie beim Pascalschen Dreieck ist jede Stelle im Bernoulli-Dreieck die Summe von zwei Stellen der vorherigen Zeile, mit Ausnahme der letzten Zahl jeder Zeile, die das Doppelte der letzten Zahl der vorherigen Zeile ist. Sei zum Beispiel ${\displaystyle B_{n,k}}$ das Element in der ${\displaystyle n}$-ten Zeile und ${\displaystyle k}$-ten Spalte. Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,0}=&1&{\mbox{ für }}&k=0\\B_{n,k}=&B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{ für }}&0<k<n\\B_{n,n}=&2\cdot B_{n-1,k-1}=2^{n}&{\mbox{ für }}&k=n\end{aligned}}}$

Folgen aus der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences im Bernoulli-Dreieck

Die Spalten des Bernoulli-Dreiecks ergeben spezielle Zahlenfolgen (wobei, falls es noch keine Zahl in dieser Spalte gibt, die ganz rechten Werte aus den oberen Zeilen genommen werden):

• Die erste Spalte ganz links ${\displaystyle (k=0)}$ ergibt die triviale Einerfolge, es ist ${\displaystyle B_{n,0}=1}$:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … (Folge A000012 in OEIS)

• Die zweite Spalte von links ${\displaystyle (k=1)}$ ergibt die Folge der natürlichen Zahlen, es ist ${\displaystyle B_{n,1}=n+1}$:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (Folge A000027 in OEIS)

• Die dritte Spalte von links ${\displaystyle (k=2)}$ ergibt die Folge der Dreieckszahlen plus Eins, es ist ${\displaystyle B_{n,2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+1={\frac {n^{2}+n+2}{2}}}$. Dies ist auch die Folge der zentralpolygonalen Zahlen (auch Zahlenfolge des faulen Kellners genannt (vom englischen Lazy caterer's sequence)):

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …(Folge A000124 in OEIS)

• Die vierte Spalte von links ${\displaystyle (k=3)}$ ergibt die Folge der Kuchenzahlen (vom englischen cake number), es ist ${\displaystyle B_{n,3}={\frac {1}{6}}\cdot (n+1)\cdot (n\cdot (n-1)+6)}$:

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, … (Folge A000125 in OEIS)

• Die fünfte Spalte von links ${\displaystyle (k=4)}$ ergibt die Zahlenfolge, die die maximale Anzahl von Regionen angibt, die durch Verbinden von ${\displaystyle n+1}$ Punkten um einen Kreis durch gerade Linien erhalten werden können, es ist also ${\displaystyle B_{n,4}=1+{\binom {n+1}{2}}+{\binom {n+1}{4}}}$.[2] Alternativ gibt die fünfte Spalte auch die maximale Anzahl von Regionen im vierdimensionalen Raum an, die man durch ${\displaystyle n-1}$ dreidimensionale Hyperebenen bilden kann (beginnend mit ${\displaystyle n=1}$):

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, … (Folge A000127 in OEIS)

• Im Allgemeinen gibt die ${\displaystyle (k+1)}$-te Spalte die maximale Anzahl von Regionen im ${\displaystyle k}$-dimensionalen Raum an, die durch ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (k-1)}$-dimensionale Hyperebenen gebildet werden (beginnend mit ${\displaystyle n=1}$).

Zum Beispiel bedeutet das für die ${\displaystyle (k+1)=6}$-te Spalte die maximale Anzahl von Regionen im ${\displaystyle k=5}$-dimensionalen Raum, die durch ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (k-1)=4}$-dimensionale Hyperebenen gebildet werden (beginnend mit ${\displaystyle n=1}$).

1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, … (Folge A006261 in OEIS)

Beispiel:

An der achten Stelle (also bei ${\displaystyle n=8}$) dieser sechsten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ${\displaystyle (k+1)=6}$ und somit ${\displaystyle k=5}$) steht die Zahl 120. Man kann somit im fünfdimensionalen Raum ${\displaystyle n-1=7}$ vierdimensionale Hyperebenen so legen, dass der fünfdimensionale Raum in 120 Teilräume (Regionen) zerfällt.

• Die ${\displaystyle (k+1)}$-te Spalte gibt auch die Anzahl der Kompositionen von ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle k+1}$ oder weniger Teile an (also die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl ${\displaystyle n}$ in die Summe von ${\displaystyle k+1}$ oder weniger natürliche Zahlen zu zerlegen), wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Beispiel 1:

Man betrachte zum Beispiel die ${\displaystyle (k+1)=2}$-te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (Folge A000027 in OEIS)

An der fünften Stelle (also bei ${\displaystyle n=5}$) dieser zweiten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ${\displaystyle k+1=2}$) steht die Zahl 5. Es gibt also 5 Möglichkeiten, die Zahl ${\displaystyle n=5}$ in ${\displaystyle k+1=2}$ oder weniger Teile zu zerlegen. Diese Möglichkeiten lauten:

5 = 5 = 1+4 = 4+1 = 2+3 = 3+2

Beispiel 2:

Man betrachte zum Beispiel die ${\displaystyle (k+1)=3}$-te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …(Folge A000124 in OEIS)

An der fünften Stelle (also bei ${\displaystyle n=5}$) dieser dritten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ${\displaystyle k+1=3}$) steht die Zahl 11. Es gibt also 11 Möglichkeiten, die Zahl ${\displaystyle n=5}$ in ${\displaystyle k+1=3}$ oder weniger Teile zu zerlegen. Diese Möglichkeiten lauten:

5 = 5 = 1+4 = 4+1 = 2+3 = 3+2 = 1+1+3 = 1+3+1 = 3+1+1 = 1+2+2 = 2+1+2 = 2+2+1

Beispiel 3:

Man betrachte zum Beispiel die ${\displaystyle (k+1)=9}$-te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1013, 1981, 3797, 7099, 12911, 22819, 39203, 65536, … (Folge A008861 in OEIS)

An der zehnten Stelle (also bei ${\displaystyle n=10}$) dieser neunten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ${\displaystyle k+1=9}$) steht die Zahl 511. Es gibt also 511 Möglichkeiten, die Zahl ${\displaystyle n=10}$ in ${\displaystyle k+1=9}$ oder weniger Teile zu zerlegen. Die einzige Möglichkeit, die nicht gezählt wird, ist ${\displaystyle 1+1+1+\ldots +1=10}$, weil hier die Zahl ${\displaystyle n=10}$ in 10 Summanden aufgeteilt wird, aber nur maximal 9 erlaubt sind.

• Wie im Pascalschen Dreieck führen Summen von Komponenten entlang diagonaler Pfade in Bernoullis Dreieck zur Fibonacci-Folge.[3] Diese lauten:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … (Folge A000045 in OEIS)

Man erhält diese Fibonacci-Folge ab ihrem 3. Wert im Bernoulli-Dreieck auf die folgende Art und Weise:

${\displaystyle n\downarrow k\to }$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 - - - - - - - - - 1 1 2 - - - - - - - - 2 1 3 4 - - - - - - - 3 1 4 7 8 - - - - - - 4 1 5 11 15 16 - - - - - 5 1 6 16 26 31 32 - - - - 6 1 7 22 42 57 63 64 - - - 7 1 8 29 64 99 120 127 128 - - 8 1 9 37 93 163 219 247 255 256 - 9 1 10 46 130 256 382 466 502 511 512

so erhält man die Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle 1=1}$ ${\displaystyle 2=2}$ ${\displaystyle 3=4-1}$ ${\displaystyle 5=8-3}$ ${\displaystyle 8=16-7-1}$ ${\displaystyle 13=32-15-4}$ ${\displaystyle 21=64-31-11-1}$ ${\displaystyle 34=128-63-26-5}$ ${\displaystyle 55=256-127-57-16-1}$ ${\displaystyle 89=512-255-120-42-6}$

• Zentralpolygonale Zahlen

• Eric W. Weisstein: Bernoulli Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Bernoulli's triangle. OEIS, 2013, abgerufen am 24. November 2022.

1. Robert Booth, Hieu D. Nguyen: Bernoulli Polynomials and Pascal's Square. (PDF) Fibonacci Quarterly, 46/47, 2008, S. 38–47, abgerufen am 24. November 2022.
2. Richard K. Guy: The Strong Law of Small Numbers. (PDF) American Mathematical Monthly 95 (8), 1988, S. 697–698, 706, abgerufen am 24. November 2022 (Example 5).
3. Denis Neiter, Amsha Proag: Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers. (PDF) Journal of Integer Sequences 19, 2016, S. 1–21, abgerufen am 24. November 2022 (Abschnitt 3.1).