Gebirgsgrat

Ein Grat

Die Gratlinie(n) einer differenzierbaren Oberfläche f(x,y) zeichnet aus, dass der Gradient senkrecht auf einer der beiden Hauptkrümmungsrichtungen steht. Die Krümmung in dieser Richtung muss zusätzlich negativ sein, damit es sich um eine Gratlinie handelt. Ist diese kleinste Krümmung positiv, so handelt es sich um eine Tallinie (im Talboden). Diese Bedingung stellt sicher, dass es sich bei dem gewählten Punkt um ein Maximum in einer Richtung (senkrecht zum Gradienten, entlang einer der Hauptkrümmungsrichtungen) handelt. Diese Bedingung stellt eine Abschwächung der Bedingung für ein lokales Maximum dar.

Gegeben die Hessematrix ${\displaystyle H_{f}(x,y)}$ sowie deren Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}(x,y)}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}(x,y)}$ mit zugehörigen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1}(x,y)}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}(x,y)}$ gilt für Punkte ${\displaystyle (x_{g},y_{g})}$ auf der Gratlinie mindestens eine der beiden Bedingungen:[3]

${\displaystyle \nabla f|_{x_{g},y_{g}}\cdot {\vec {v}}_{1}(x_{g},y_{g})=0,\lambda _{1}<0}$ oder ${\displaystyle \nabla f|_{x_{g},y_{g}}\cdot {\vec {v}}_{2}(x_{g},y_{g})=0,\lambda _{2}<0}$ .

1. https://www.hoehenrausch.de/lexikon/grat/index.php
2. https://www.duden.de/rechtschreibung/Schneide
3. David H. Laidlaw, Anna Vilanova: New Developments in the Visualization and Processing of Tensor Fields. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-3-642-27343-8, S. 98 (google.com [abgerufen am 8. Juli 2021]).