Bereissche Polkette

Rastebene (gelb) mit Rastkoordinaten (schwarz) und Gangebene (himmelblau) mit Gangkoordinaten (blau)

Der Momentanpol ist nur bei ebenen Bewegungen definiert und daher werde die Starrkörperbewegung als Bewegung der komplexen Zahlenebene modelliert. Der feststehende Bildraum ist die Rastebene, die den Raum unserer Anschauung repräsentiert und die das Rastkoordinatensystem und die Rastpolbahn enthält. Der bewegte Urbildraum ist die Gangebene, die den in ihr ruhenden Starrkörper und das Gangkoordinatensystem beinhaltet. Alle Partikel des Starrkörpers bewegen sich synchron mit der Gangebene mit. In Anlehnung an die räumliche eulersche- und die materielle lagrangesche Betrachtungsweise werden die Koordinaten in der Rastebene als räumlich sowie mit Kleinbuchstaben und die Koordinaten in der Gangebene als materiell sowie mit Großbuchstaben bezeichnet, siehe Bild.

Jeder Punkt in der komplexen Zahlenebene entspricht einer komplexen Zahl. Die Translation eines Punktes wird mit der Addition einer anderen Zahl und die Rotation um den Ursprung mit dem Produkt mit der komplexen Zahl ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$ modelliert, worin ${\displaystyle \varphi }$ der Drehwinkel, e die eulersche Zahl und i die imaginäre Einheit ist.

Die Bewegungsfunktion χ(Z,t) und Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {\chi }}(Z,t)}$ eines Partikels Z kann dann in der Rastebene als

${\displaystyle \chi (Z,t)=s(t)+e^{\mathrm {i} \varphi (t)}Z=z\quad \rightarrow \quad {\dot {z}}={\dot {s}}+\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \varphi }Z={\dot {s}}+\mathrm {i} \omega (z-s)}$

geschrieben werden, wobei zuletzt auf die Angabe des Zeitparameters t der Übersichtlichkeit halber verzichtet wurde. Der Punkt s bezeichnet einen sich bewegenden Bezugspunkt, in dem der Ursprung des Gangkoordinatensystems liegt, und die Drehgeschwindigkeit ω ergibt sich aus der Zeitableitung des Drehwinkels: ${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}}$. Diese sei konstant: ${\displaystyle {\dot {\omega }}={\ddot {\varphi }}=0}$.

Der erste Pol, der Momentanpol, ist derjenige Punkt p₁, in dem die Geschwindigkeit null ist:

${\displaystyle {\dot {z}}={\dot {s}}+\mathrm {i} \omega (z-s)=0\quad \rightarrow \quad p_{1}=s-{\frac {\dot {s}}{\mathrm {i} \omega }}=s-{\frac {\dot {s}}{(\mathrm {i} \omega )^{1}}}}$

Der zweite Pol, der Beschleunigungspol, ist derjenige Punkt p₂, in dem die Beschleunigung verschwindet:

${\displaystyle {\ddot {z}}={\ddot {s}}+\mathrm {i} \omega ({\dot {z}}-{\dot {s}})={\ddot {s}}+(\mathrm {i} \omega )^{2}(z-s)=0\quad \rightarrow \quad p_{2}=s-{\frac {1}{(\mathrm {i} \omega )^{2}}}{\ddot {s}}\,.}$

n-te Zeitableitung s⁽ⁿ⁾ im Bezugspunkt s und n-ter Pol p_n

Auf die gleiche Weise ermitteln sich die höheren Ableitungen:

${\displaystyle {\begin{array}{rclclcl}z^{(3)}&=&s^{(3)}+\mathrm {i} \omega ({\ddot {z}}-{\ddot {s}})&=&s^{(3)}+(\mathrm {i} \omega )^{3}(z-s)=0&\rightarrow &p_{3}=s-{\frac {1}{(\mathrm {i} \omega )^{3}}}s^{(3)}\\z^{(4)}&=&s^{(4)}+\mathrm {i} \omega (z^{(3)}-s^{(3)})&=&s^{(4)}+(\mathrm {i} \omega )^{4}(z-s)=0&\rightarrow &p_{4}=s-{\frac {1}{(\mathrm {i} \omega )^{4}}}s^{(4)}\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\z^{(n)}&=&s^{(n)}+\mathrm {i} \omega (z^{(n-1)}-s^{(n-1)})&=&s^{(n)}+(\mathrm {i} \omega )^{n}(z-s)=0&\rightarrow &p_{n}=s-{\frac {1}{(\mathrm {i} \omega )^{n}}}s^{(n)}\,.\end{array}}}$

Die Folge (p₁, p₂, p₃, … ) ist die Bereis’sche Polkette. Die Identität ${\displaystyle \mathrm {i} =e^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}}$ führt mit

${\displaystyle p_{n}=s-e^{-\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}{\frac {s^{(n)}}{\omega ^{n}}}=s+e^{\mathrm {i} \left(\pi -{\frac {n\pi }{2}}\right)}{\frac {s^{(n)}}{\omega ^{n}}}}$

auf die Konstruktion im Bild.

n-te Zeitableitung z⁽ⁿ⁾ im Punkt z und n-ter Pol p_n

Durch Addition einer null kann die n-te Zeitableitung der Bewegung vorteilhaft mit dem n-ten Pol geschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}z^{(n)}&=&s^{(n)}+(\mathrm {i} \omega )^{n}(z-p_{n}+p_{n}-s)=\underbrace {s^{(n)}+(\mathrm {i} \omega )^{n}(p_{n}-s)} _{=p_{n}^{(n)}=0}+(\mathrm {i} \omega )^{n}(z-p_{n})\\\rightarrow z^{(n)}&=&(\mathrm {i} \omega )^{n}(z-p_{n})=e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\omega ^{n}(z-p_{n})\,.\end{array}}}$

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit schließt die n-te Zeitableitung der Bewegung mit dem ωⁿ-fachen Richtungsvektor zum n-ten Pol gegen den Uhrzeigersinn den n-fachen rechten Winkel ein, siehe Bild.

Rastpol- und Gangpolbahn bei einem auf einer Kreisbahn umlaufenden und entgegengesetzt rotierenden Kreuzschieber (Animation 544 kB)

Die Bereis’sche Polkette des im Bild animierten Systems soll berechnet werden. Der Mittelpunkt s des Kreuzschiebers bewege sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω auf der Kreisbahn mit dem Radius R um den Ursprung: ${\displaystyle s=Re^{\mathrm {i} \Omega t}}$. Der Kreuzschieber dreht sich mit entgegengesetzt gleich großer Winkelgeschwindigkeit ω=-Ω um seinen Mittelpunkt. Entsprechend lautet die Bewegungsfunktion und die Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}z&=&Re^{\mathrm {i} \Omega t}+e^{-\mathrm {i} \Omega t}Z\\\rightarrow {\dot {z}}&=&\mathrm {i} \Omega Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega e^{-\mathrm {i} \Omega t}Z=\mathrm {i} \Omega Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega (z-Re^{\mathrm {i} \Omega t})=2\mathrm {i} \Omega Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega z\,.\end{array}}}$

Somit berechnet sich die Polkette:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}z^{(1)}&=&2\mathrm {i} \Omega Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega z=0&\rightarrow &p_{1}=2Re^{\mathrm {i} \Omega t}\\z^{(2)}&=&2(\mathrm {i} \Omega )^{2}Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega z^{(1)}=2(\mathrm {i} \Omega )^{2}Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega [2\mathrm {i} \Omega Re^{\mathrm {i} \Omega t}-\mathrm {i} \Omega z]\\&=&(\mathrm {i} \Omega )^{2}z=0&\rightarrow &p_{2}=0\\z^{(3)}&=&(\mathrm {i} \Omega )^{2}z^{(1)}=0&\rightarrow &p_{3}=p_{1}\,.\end{array}}}$

Der vierte Pol wäre dann wieder im Ursprung. Die Pole springen zwischen dem Ursprung und dem Momentanpol hin und her:

${\displaystyle p_{n}={\begin{cases}0\quad &{\text{falls n gerade}}\\2Re^{\mathrm {i} \Omega t}\quad &{\text{falls n ungerade}}\,.\end{cases}}}$

Die n-te Zeitableitung der Bewegung an einem Ort z kann mit diesen Polen schnell angegeben werden:

${\displaystyle z^{(n)}=e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}(-\Omega )^{n}(z-p_{n})={\begin{cases}e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\Omega ^{n}z\quad &{\text{falls n gerade}}\\-e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\Omega ^{n}(z-2Re^{\mathrm {i} \Omega t})\quad &{\text{falls n ungerade}}\,.\end{cases}}}$

Für den Mittelpunkt des Kreuzschiebers berechnet sich

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}z^{(n)}&=&{\begin{cases}e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\Omega ^{n}Re^{\mathrm {i} \Omega t}=(\mathrm {i} \Omega )^{n}Re^{\mathrm {i} \Omega t}\quad &{\text{falls n gerade}}\\-e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\Omega ^{n}(Re^{\mathrm {i} \Omega t}-2Re^{\mathrm {i} \Omega t})=e^{\mathrm {i} {\frac {n\pi }{2}}}\Omega ^{n}Re^{\mathrm {i} \Omega t}=(\mathrm {i} \Omega )^{n}Re^{\mathrm {i} \Omega t}\quad &{\text{falls n ungerade}}\,.\end{cases}}\\&=&(\mathrm {i} \Omega )^{n}Re^{\mathrm {i} \Omega t}\,,\end{array}}}$

was zu erwarten war.

1. R. Bereis: „Die Fernpolstellung der ebenen Bewegung“, in den Veröffentlichungen der Technischen Hochschule Wien, Ausgabe 11, 1953.

• K. Luck, K.-H. Modler: Getriebetechnik: Analyse Synthese Optimierung. Springer, 1990, ISBN 978-3-211-82147-3.
• G. Bär: Ebene Kinematik. Script zur Vorlesung. Institut für Geometrie, TU Dresden (tu-dresden.de [PDF; abgerufen am 1. April 2015] Enthält weitere Literaturempfehlungen).