Bell-Zustand

Bell-Zustände sind vier bestimmte Quantenzustände aus zwei maximal verschränkten Teilchen. Maximale Verschränkung bedeutet, dass die Teilchen keinen eigenen Zustand haben. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen ihren Zuständen. Die Zustände der Teilchen werden im Folgenden durch Qubits beschrieben.

Beide Qubits befinden sich in einer gleichmäßigen Superposition der Basisvektoren ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ und ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$. Wenn man die beiden Qubits eines Bell-Zustands auf zwei räumlich getrennte Personen Alice und Bob verteilt, dann folgt aus der Verschränkung:

Wenn Alice ihr Qubit A in der Standard-Basis misst, ist das Ergebnis entweder 0 oder 1, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5. Das Gleiche gilt für Bob, wenn er sein Qubit B misst. Es sieht also so aus, als ob Alice und Bob zufällige Ergebnisse erhalten. Wenn sie aber ihre Ergebnisse miteinander vergleichen, dann stellen sie fest, dass ihre Ergebnisse perfekt miteinander korrelieren.

Diese perfekte Korrelation von getrennten Systemen ist etwas Besonderes. Es sieht so aus, als ob sich die beiden Qubits vor der Trennung darüber „abgesprochen“ haben, welches Ergebnis sie bei einer Messung erzeugen werden. Deshalb vermuteten Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (kurz EPR) 1935 in ihrem EPR-Gedankenexperiment, dass in der Beschreibung des Bell-Zustands durch die Quantenmechanik etwas fehlt. Sie nannten es „verborgene Variablen“.

1964 entwickelte John Stewart Bell mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie die Bellsche Ungleichung. Sie beweist, dass man mit verborgenen Variablen keine perfekte Korrelation erreichen kann. Die Quantenmechanik sagt dagegen die perfekte Korrelation genau vorher. Was Bell 1964 als Gedankenexperiment beschrieb, konnte ab 1972 in echten Experimenten, sogenannten Bell-Tests, überprüft werden. Seitdem haben zahlreiche Experimente die Verletzung der Ungleichung für verschränkte Teilchenpaare nachgewiesen. Die Vorhersagen der Quantenmechanik wurden durch alle Experimente bestätigt.[5]

Zusätzlich zeigt das No-Communication-Theorem, dass auch die Messungen selber nicht dazu benutzt werden können, Informationen zwischen den beiden Qubits zu übertragen.

Die Bell-Basis bildet eine Orthonormalbasis des vierdimensionalen Hilbertraums der möglichen Zweiteilchen-Zustände. Wenn Teilchen A die Basiszustände ${\displaystyle |0\rangle _{A}}$ und ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$ hat, und Teilchen B entsprechend, dann heißen die vier Bell-Zustände wie folgt:

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}|1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}).}$

Alle vier Bell-Zustände sind paarweise zueinander orthogonal. In jedem der Zustände zeigt sich die Verschränkung darin, dass jedes der Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden der beiden Basiszustände besetzt, und dass trotzdem, nachdem das eine Teilchen in einem der Basiszustände nachgewiesen wurde, mit Sicherheit der Basiszustand feststeht, in dem sich das andere Teilchen befindet.

Quantenschaltung zur Erzeugung des Bell-Zustands ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$.

Die einfachste Methode, um einen Bell-Zustand mit einer Quantenschaltung zu erzeugen, benötigt ein Hadamard-Gatter und ein CNOT-Gatter.

Die Quantenschaltung in der Abbildung benötigt zwei Schritte, um den Eingangszustand ${\displaystyle |00\rangle }$ in den Bell-Zustand ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ zu überführen.

1. Überführe das obere Qubit des Eingangszustands mit einem Hadamard-Gatter in eine Superposition. Der neue Registerzustand ist

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|10\rangle )}$

2. Benutze das obere Qubit als Kontroll-Qubit für ein CNOT-Gatter. Das CNOT-Gatter invertiert das Ziel-Qubit (das untere Qubit) nur dann, wenn das Kontroll-Qubit 1 ist. Der Endzustand ist

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )=|\Phi ^{+}\rangle }$

Die Schaltung überführt jeden einfachen Zwei-Qubit-Eingangszustand ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }$ in einen Bell-Zustand.[6]

${\displaystyle |00\rangle \rightarrow |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

${\displaystyle |01\rangle \rightarrow |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$

${\displaystyle |10\rangle \rightarrow |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \rightarrow |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle )}$

Im Experiment werden verschränkte Paare von Photonen zum Beispiel erzeugt, indem man einen starken Laserstrahl auf einen speziellen Kristall richtet. Wenn dabei eine spontane parametrische Fluoreszenz auftritt, erfolgt eine Umwandlung von einem Photon aus dem Laserstrahl in zwei miteinander verschränkte Photonen, die aus dem Kristall austreten.[7]

Bei Spin-${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$-Teilchen bezeichnet man die Basiszustände gewöhnlich mit ${\displaystyle \left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle }$ und ${\displaystyle \left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle }$, was an die beiden Möglichkeiten ${\displaystyle m=\pm {\tfrac {1}{2}}}$ der Orientierung des Spin längs einer gegebenen Achse erinnert. Der vierte Zustand der Bell-Basis ist dann der Singulett-Zustand, d. h. der Zustand zum Gesamtspin ${\displaystyle S=0}$:

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}-\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}).}$

Entsprechend ist der dritte Zustand der Bell-Basis der Triplett-Zustand (${\displaystyle S=1}$) mit der m-Quantenzahl ${\displaystyle M=0}$:

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}+\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}).}$

Die ersten beiden Zustände der Bell-Basis sind Alignment-Zustände, d. h. zwei orthogonale Überlagerungen der Triplett-Zustände zu ${\displaystyle M=\pm 1}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}+\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}).}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}-\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}).}$