Basisreproduktionszahl

Schematische Darstellung der Anzahl von Infizierten im Modell für unterschiedliche Werte der Reproduktionszahl              R₀=2              R₀=1              R₀=0,5 bei einer angenommenen Generationszeit von 4 Tagen und einer Anfangszahl von 1000 Infizierten

Mit Hilfe der Basisreproduktionszahl ${\displaystyle R_{0}}$ kann man abschätzen, wie die Ausbreitung einer übertragbaren Krankheit zum Beginn einer Epidemie verläuft und welcher Anteil der Bevölkerung immun bzw. durch Impfung immunisiert sein muss, um eine Epidemie zu verhindern.[5] In häufig verwendeten Infektionsmodellen kann sich die Infektion in einer Population ausbreiten, wenn ${\displaystyle R_{0}>1}$ ist, nicht aber, wenn ${\displaystyle R_{0}<1}$ ist. Im Allgemeinen gilt: Je größer der Wert von ${\displaystyle R_{0}}$, desto schwieriger ist es, die Epidemie unter Kontrolle zu halten. Die Basisreproduktionszahl ${\displaystyle R_{0}}$ bezieht sich auf eine Population, in der alle Menschen für die Infektion empfänglich sind, also insbesondere keine Personen resistent sind. Sie wird durch Kontagiosität, die Populationsdichte und den Grad der Durchmischung der Bevölkerung bestimmt.[6] Die Durchmischung ist ein Maß dafür, wie homogen die Interaktionen innerhalb der Bevölkerung sind; sie ist z. B. kleiner, wenn Menschen Gruppen bilden und vorzugsweise mit Menschen in ihrer eigenen Gruppe interagieren.[7] Die Basisreproduktionszahl kann daher für denselben Erreger in verschiedenen Bevölkerungen höchst unterschiedlich ausfallen.[6] Aus der Basisreproduktionszahl kann berechnet werden, wie hoch der immunisierte Anteil der Bevölkerung sein muss, um eine ausreichende Herdenimmunität dafür zu erreichen, dass die Krankheit langfristig in der gegebenen Population ausstirbt (siehe auch: die Mathematik der Impfungen). In einfachen Modellen wird die Herdenimmunität erreicht, wenn im Fall von ${\displaystyle R_{0}>1}$ ein Anteil von ${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{R_{0}}}\right)}$ der Bevölkerung immunisiert ist.

Die Basisreproduktionszahl kann für ein einfaches Infektionsmodell weiter aufgeschlüsselt werden:

${\displaystyle R_{0}=\kappa \cdot q\cdot D}$

mit ${\textstyle \kappa }$, der mittleren Anzahl der Kontakte eines Infizierten pro Zeitspanne, ${\textstyle D}$, der mittleren Dauer der Infektiosität und ${\textstyle q}$, der Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt.[8][Anm. 2] Zu Beginn der Aids-Epidemie wurde diese Formel auch auf die Ausbreitung von HIV in der allgemeinen Bevölkerung, in der das Virus nur durch sexuellen Kontakt in beidseitig treuen Partnerschaften übertragen wird, angewendet.[9] Daraus wurde geschlossen, dass schon fünf Partnerschaften im ganzen Leben genug wären, um eine HIV-Epidemie in der allgemeinen Bevölkerung zu generieren.[10] Aber bald erkannte man, dass die lange Inkubationszeit von Aids erfordert, dass die Lebensdauer (ohne Aids) und die Alterspräferenz bei der Partnerwahl in die Berechnung von R0 eingehen. R0 ist umso kleiner, je kleiner der mittlere Altersunterschied zwischen den Partnern ist. Bei strikter Präferenz für Gleichaltrige wäre jedes Glied einer Infektionskette älter als das vorausgehende Glied, und jede Kette würde abbrechen, sobald ein bestimmtes Alter erreicht ist oder der Tod aus anderer Ursache eintritt.[11]

Für weitere mathematische Hintergründe und Modelle siehe:

• Mathematische Modellierung der Epidemiologie
  • SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
  • SIS-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung)
  • SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
  • SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)

Aus den Modellen können Schätzer für ${\displaystyle R_{0}}$ gewonnen werden. Betrachtet man zum Beispiel das SIR-Modell mit anfänglich exponentiellem Wachstum der Infizierten (Wachstumsexponent ${\displaystyle r={\frac {\ln 2}{t_{\rm {d}}}}}$ mit der Verdopplungszeit ${\displaystyle t_{\rm {d}}}$), hat man die Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta {\frac {SI}{N}}-\gamma I=r\cdot I}$

wobei ${\displaystyle S\approx N}$ für den Beginn der Epidemie gesetzt werden kann, und damit den Schätzer:[12]

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}=1+{\frac {r}{\gamma }}=1+{\frac {\ln 2}{\gamma \cdot t_{\rm {d}}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}}$ die mittlere Zeit, in der ein Infizierter ansteckend ist.

Ein anderer Schätzer für ${\displaystyle R_{0}}$ geht von der Generationszeit ${\displaystyle T_{\rm {G}}}$ aus:

${\displaystyle R_{0}^{\frac {t}{T_{\rm {G}}}}=e^{r\cdot t}}$

was auf den Schätzer

${\displaystyle R_{0}=e^{r\cdot T_{\rm {G}}}}$

führt, für kleine ${\displaystyle r\cdot T_{\rm {G}}}$ kann das durch ${\displaystyle R_{0}\approx 1+r\cdot T_{\rm {G}}}$ genähert werden.[12]

Schätzungen von ${\displaystyle R_{0}}$, bei denen die Generationszeit keine Konstante ist, sondern einer Verteilungsfunktion gehorcht, gehen von der Euler-Lotka-Gleichung aus, die einen Zusammenhang zwischen der Basisreproduktionszahl und der Wachstumsrate liefert.

Für komplizierter Modelle ist die Berechnung von ${\displaystyle R_{0}}$ schwieriger. In verallgemeinerten SIR Modellen, in denen die Bevölkerung nicht als homogen angenommen wird (beispielsweise in altersstrukturierten Modellen), lässt sich ${\displaystyle R_{0}}$ als größter Eigenwert der „Next Generation Matrix“ berechnen.[13] Diese Matrix ist das deterministische Analogon zur Matrix der ersten Momente in Modellen, die die Theorie der Galton-Watson-Prozesse mit mehreren Typen anwenden.[14]

Die Nettoreproduktionszahl wird von der Basisreproduktionszahl abgeleitet und gibt an, wie viele Menschen ein Infizierter durchschnittlich ansteckt, wenn ein gewisser Teil der Bevölkerung immun ist oder bestimmte Maßnahmen im Rahmen einer verordneten Massenquarantäne getroffen wurden, die zur Eindämmung dienen sollen.[15][16][17] Andere Bezeichnungen für die Nettoreproduktionszahl ${\displaystyle R}$ sind die Nettoreproduktionszahl zu einer bestimmten Zeit ${\displaystyle R_{t}}$[16] sowie die effektive Reproduktionszahl ${\displaystyle R_{\rm {eff}}}$,[18] die an die englische Bezeichnung effective reproduction number angelehnt ist. Werden keine Kontrollmaßnahmen ergriffen, ist ${\textstyle R_{\rm {eff}}=R_{0}\cdot {\frac {S}{N}}}$, wobei ${\textstyle S}$ die Anzahl „suszeptibler“ (für Ansteckung empfänglicher) Personen ist und ${\textstyle N}$ die Gesamtzahl der Personen einer Population;[8][Anm. 3] ${\textstyle {\frac {S}{N}}}$ ist also die Wahrscheinlichkeit, bei einem Kontakt auf eine infizierbare Person zu treffen. Mit Kontrollmaßnahmen – etwa Hygiene- und Distanzierungsmaßnahmen zur Verringerung der Übertragungsrate pro Kontakt, einer Verringerung der Zahl und Dauer der Kontakte und/oder der Begrenzung der Interaktionen auf kleinere Gruppen – nimmt die effektive Reproduktionszahl weiter ab.

Da oft Teile der Bevölkerung immun gegen eine Krankheit sind, während deren Ausbreitung wirksame Gegenmaßnahmen ergriffen werden, oder wenn nachträglich eine Immunität gegen die Krankheit entwickelt wird, gewinnt die Nettoreproduktionszahl im Verlauf einer Ausbreitung immer größere Bedeutung. Das Ziel von Eindämmungsmaßnahmen ist es im Regelfall, die Nettoreproduktionszahl unter 1 zu drücken.[15] Denn erst, wenn die Nettoreproduktionszahl kleiner als 1 ist, sinkt die Zahl der Infizierten und die Erkrankung verschwindet irgendwann gänzlich.[19][16][17][15]

Beispielwerte für die Basisreproduktionszahl sind bei Pocken und Poliomyelitis 6, bei Masern 15, bei Diphtherie 7, bei Keuchhusten 14.[24] Bei der Grippepandemie von 1918 wurde die Basisreproduktionszahl auf 2 bis 3 geschätzt.[25] Die Basisreproduktionszahl des Wildtyps von COVID-19 wird (vor dem Inkrafttreten der Gegenmaßnahmen) vom Robert Koch-Institut mit 3,3 bis 3,8 angegeben.[26] Der WHO-China Joint Mission Report gab die Basisreproduktionszahl für China – also als noch keine Maßnahmen wie Ausgangssperre ergriffen wurden – mit 2 bis 2,5 an.[27] Die CDC schätzten sie im April 2020 deutlich höher ein, nämlich auf 5,7 (95 %-KI 3,8–8,9).[28][29] (siehe auch Basisreproduktionszahl von COVID-19).

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Basisreproduktionszahlen einiger Infektionskrankheiten und Pandemien. Die Werte variieren dabei zum Teil erheblich, Gründe dafür sind einerseits die betrachtete Bevölkerung, z. B. mit ihrer individuellen Impfungsgeschichte oder ihren Maßnahmen gegen die Ausbreitung der Krankheit wie Ausgangssperren oder räumliche Distanzierung,[16] andererseits Unsicherheiten im historischen Rückblick.

• Abschnitt Reproduktionszahl im Artikel Epidemiologie
• Mathematische Modellierung der Epidemiologie

• Martin Eichner, Mirjam Kretzschmar: Mathematische Modelle in der Infektionsepidemiologie, In A. Krämer, R. Reintjes (Hrsg.): Infektionsepidemiologie. Methoden, Surveillance, Mathematische Modelle, Global Public Health. Springer Verlag, Heidelberg 2003, doi:10.1007/978-3-642-55612-8_8.

1. Diese Bezeichnung ist insofern nicht korrekt, als die Reproduktionszahl R₀ eine dimensionslose Zahl ist und somit formal keine auf eine bestimmte Zeiteinheit bezogene Rate; vgl. Christine Arcari: Understanding and measuring the dynamics of infectious disease transmission. In: G. Milligan, A. Barrett (Hrsg.): Vaccinology. An Essential Guide. Wiley-Blackwell, 2015, S. 310.
2. In der verwendeten Quelle Marc Lipsitch et al. findet sich die gleichwertige Angabe ${\textstyle R_{0}=kbD}$ mit ${\textstyle k}$ als Anzahl der Kontakte jedes Infizierten pro Zeitspanne, ${\textstyle b}$ als Wahrscheinlichkeit der Übertragung pro Kontakt zwischen einem Infizierten und einem „Suszeptiblen“ sowie ${\textstyle D}$ als mittlerer Dauer der Infektiosität.
3. In der verwendeten Quelle Marc Lipsitch et al. findet sich die Angabe ${\textstyle R=R_{0}x}$, wobei ${\textstyle R}$ die effektive Reproduktionszahl und ${\textstyle x}$ der Anteil der „Suszeptiblen“ an der Gesamtbevölkerung ist. Wegen ${\textstyle x={\frac {S}{N}}}$ gilt die beschriebene Identität ${\textstyle R_{\rm {eff}}=R_{0}\cdot {\frac {S}{N}}}$.