Bartlett-Test

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung für jede der ${\displaystyle k}$ Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte ${\displaystyle \mu _{i}}$ und die Varianzen ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ unbekannt sind, ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$. Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Der Bartlett-Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\dots =\sigma _{k}^{2}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}:\exists i,j\quad {\text{mit}}\quad \sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}}$

Wenn die ${\displaystyle k}$ Gruppen die Stichprobenumfänge ${\displaystyle n_{i}}$, die Stichprobenmittel ${\displaystyle {\bar {X}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}X_{ij}}$ und die Stichprobenvarianzen ${\displaystyle S_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}(X_{ij}-{\bar {X}}_{i})^{2}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ haben, dann wird die Teststatistik definiert als

${\displaystyle X^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum \limits _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\left[\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}-1}}\right]-{\frac {1}{N-k}}\right)}}}$

mit ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ und ${\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)S_{i}^{2}}$.

Die Teststatistik ${\displaystyle X^{2}}$ ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit ${\displaystyle k-1}$ Freiheitsgraden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer als ${\displaystyle \chi _{k-1,1-\alpha }^{2}}$ ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \chi _{k-1,1-\alpha }^{2}}$ das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle k-1}$ Freiheitsgraden. Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer ${\displaystyle 100\alpha }$-Prozentpunkt (engl. upper ${\displaystyle 100\alpha }$ percentage point) der Verteilung bezeichnet und dann auch als ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$ notiert.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix ${\displaystyle R}$ gleich der Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

${\displaystyle H_{0}:R=E\,}$ gegen ${\displaystyle H_{1}:R\neq E}$

Wenn ${\displaystyle p}$ die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix ${\displaystyle R}$ berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

${\displaystyle X^{2}=-\left(n-1-{\frac {2p+5}{6}}\right)\log(|R|)}$

wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Beobachtungen und ${\displaystyle |R|}$ die Determinante von ${\displaystyle R}$ ist.[3]

Die Teststatistik ${\displaystyle X^{2}}$ ist approximativ ${\displaystyle \chi _{p(p-1)/2}^{2}}$-verteilt mit ${\displaystyle p(p-1)/2}$ Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als ${\displaystyle \chi _{p(p-1)/2,\alpha }^{2}}$.