Banach-Mazur-Abstand

Sind ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{F})}$ zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine bijektive, stetige, lineare Abbildung ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$, deren Umkehrung ebenfalls beschränkt ist. Für die Operatornorm gilt ${\displaystyle 1=\|\mathrm {id} _{E}\|=\|T^{-1}\circ T\|\leq \|T^{-1}\|\cdot \|T\|}$. Daher ist

${\displaystyle \delta (E,F):=\inf\{\|T^{-1}\|\cdot \|T\|;\,T:E\rightarrow F\,\,{\text{Isomorphismus}}\}}$

eine Zahl ${\displaystyle \geq 1}$, die misst, wie weit die Räume ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{F})}$ davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ und ${\displaystyle (F,\|\cdot \|_{F})}$. Sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ nicht isomorph, so ist ${\displaystyle \delta (E,F)=\infty }$.

Es gelten folgende einfache Regeln:

1. ${\displaystyle \delta (E,E)\,=\,1}$; allgemeiner ${\displaystyle \delta (E,F)\,=\,1}$, falls ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ isometrisch isomorph sind,
2. ${\displaystyle \delta (E,F)\,=\,\delta (F,E)}$ für normierte Räume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$,
3. ${\displaystyle \delta (E,F)\leq \delta (E,G)\cdot \delta (G,F)}$ für normierte Räume ${\displaystyle E,F}$ und ${\displaystyle G}$.

Daraus ergibt sich, dass sich ${\displaystyle \log \circ \delta (\cdot ,\cdot )}$ wie eine Metrik verhält, wobei log irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus. Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.

Der Banach-Mazur-Abstand ${\displaystyle \delta (E,F)}$ hängt vom zu Grunde liegenden Grundkörper, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.

Aus ${\displaystyle \delta (E,F)\,=\,1}$ folgt im Allgemeinen nicht, dass ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pełczyński und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$ folgende Normen auf c₀ definiert:

${\displaystyle \|x\|_{i}:=\sup _{j\in \mathbb {N} }|x(j)|+(\sum _{j=1}^{\infty }2^{-2j}|x(j+i)|^{2})^{\frac {1}{2}}}$

Setzt man ${\displaystyle E_{i}:=(c_{0},\|\cdot \|_{i})}$, so kann man zeigen, dass ${\displaystyle E_{0}}$ strikt konvex ist, ${\displaystyle E_{1}}$ aber nicht; daher können ${\displaystyle E_{0}}$ und ${\displaystyle E_{1}}$ nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man

${\displaystyle T_{n}:E_{0}\rightarrow E_{1}:\quad (x(1),x(2),\ldots )\mapsto (x(n),x(1),\ldots ,x(n-1),x(n+1),\ldots )}$,

so ist ${\displaystyle T_{n}:E_{0}\rightarrow E_{1}}$ ein Isomorphismus und es ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|T_{n}^{-1}\|\|T_{n}\|=1}$, also gilt ${\displaystyle \delta (E_{0},E_{1})=1}$.

Dieses Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein, denn für zwei endlichdimensionale Räume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ kann man zeigen, dass ${\displaystyle \delta (E,F)=1}$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ isometrisch isomorph sind.

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$ die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomorphie ist eine mit ${\displaystyle \sim }$ bezeichnete Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$. Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge ${\displaystyle Q_{n}:={\mathcal {Q}}_{n}/\sim }$ induziert und dass ${\displaystyle (Q_{n},\log \circ \delta )}$ ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum. Auch wenn ${\displaystyle \delta }$ keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von ${\displaystyle \delta }$, so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich ${\displaystyle \delta }$ verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.

Es bezeichne ${\displaystyle \ell _{p}^{n}}$ den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht ${\displaystyle \delta (E,\ell _{1}^{n})\leq n}$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {Q}}_{n}}$: Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis ${\displaystyle (e_{i},e_{i}')_{i}}$ von ${\displaystyle E}$. Für ${\displaystyle T:\ell _{1}^{n}\rightarrow E,\,T((t_{i})_{i}):=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}}$ gilt dann ${\displaystyle T^{-1}x\,=\,(e_{i}'(x))_{i}}$ und daher ${\displaystyle \|T\|=1}$ und ${\displaystyle \|T^{-1}\|\leq n}$, woraus ${\displaystyle \delta (E,\ell _{1}^{n})\leq n}$ folgt.

Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung ${\displaystyle \delta (E,\ell _{2}^{n})\leq {\sqrt {n}}}$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {Q}}_{n}}$. Daraus folgt sofort

${\displaystyle \delta (E,F)\leq \delta (E,\ell _{2}^{n})\cdot \delta (\ell _{2}^{n},F)\leq {\sqrt {n}}^{2}=n}$ für alle ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {Q}}_{n}}$.

Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums ${\displaystyle \leq n}$. E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal ${\displaystyle n}$ abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel

${\displaystyle \delta (\ell _{p}^{n},\ell _{q}^{n})=n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}}$ falls ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq 2}$ oder ${\displaystyle 2\leq p\leq q\leq \infty }$.

Für den Fall ${\displaystyle 1\leq p<2<q\leq \infty }$ kennt man folgende Abschätzung:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\max\{n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}},n^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{q}}}\}\leq \delta (\ell _{p}^{n},\ell _{q}^{n})\leq {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}\max\{n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}},n^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{q}}}\}}$.

• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser Boston (2007), ISBN 978-0-8176-4367-6
• Nicole Tomczak-Jaegermann: Banach-Mazur-Distances and Finite Dimensional Operator Ideals, Pitman monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 38 (1988) ISBN 0-470-20982-8