BRST-Symmetrie

Der Eichfixierungsterm lautet in den ${\displaystyle R_{\xi }}$-Eichungen, die, im Fall der Quantenelektrodynamik, die Lorenz-Eichung in den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik verallgemeinern,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{fix}}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a})^{2}}$

mit dem Eichparameter ${\displaystyle \xi }$. Das quantenfeldtheoretische Äquivalent zur Lorenz-Eichung, die Feynman-Eichung, ergibt sich durch das Setzen von ${\displaystyle \xi =1}$. Der Geister-Term ist

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Geist}}=-(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a})(\partial _{\mu }c^{a}-f^{abc}A_{\mu }^{b}c^{c})}$

mit den Geistfeldern ${\displaystyle c}$, den Anti-Geistfeldern ${\displaystyle {\bar {c}}}$ und den Strukturkonstanten der Symmetriegruppe ${\displaystyle f}$. Insbesondere ist für die Kreisgruppe ${\displaystyle f=0}$, sodass in der Elektrodynamik die Geistfelder entkoppeln und keinen Beitrag leisten. Setzt man in diese Terme die oben angegebene Eichtransformation ein, ist die Lagrangedichte nicht mehr eichinvariant.

Die Invarianz unter der BRST-Transformation ergibt sich durch Ersetzen der Eichtransformation durch die infinitesimalen Transformationen

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mu }^{a}\to {A'}_{\mu }^{a}&=A_{\mu }^{a}+\theta (\partial _{\mu }c^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}c^{c})\\{\bar {c}}^{a}\to {{\bar {c}}'}^{a}&={\bar {c}}^{a}+\theta {\frac {1}{\xi }}\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}\\c^{a}\to {c'}^{a}&=c^{a}-{\frac {1}{2}}\theta gf^{abc}c^{b}c^{c}\end{aligned}}}$

mit dem infinitesimalen Transformationsparameter ${\displaystyle \theta }$, wobei ${\displaystyle \theta }$ eine Graßmann-Zahl ist. Für diese gilt insbesondere, dass ${\displaystyle \theta c=-c\theta }$, aber ${\displaystyle \theta A=A\theta }$ ist, da die Geistfelder selbst Graßmann-wertig sind. Da das Produkt zweier Graßmann-Zahlen wieder eine „normale“ Zahl ist, ist die BRST-Transformation für das Eichfeld insgesamt nicht Graßmann-wertig; es wird nur der Eichparameter ${\displaystyle \alpha }$ durch ${\displaystyle \theta c}$ ersetzt. Ohne die fermionischen Materiefelder berücksichtigt zu haben, gilt die Ersetzungeregel auch für diese, sodass die Eichfreiheit für Materiefelder, korrespondierend zur freien Wahl der Phase in der klassischen Quantenmechanik, ebenfalls durch die BRST-Symmetrie ausgedrückt werden kann.

Das Transformationsverhalten für Geist- und Anti-Geistfeld ist verschieden, doch im Gegensatz zu Materie und Antimaterie existiert zwischen Geistern und Antigeistern kein physikalischer Zusammenhang, sodass dies keinen Widerspruch zur Physik generiert.

Allgemein kann, ohne die Eichungen auf ${\displaystyle R_{\xi }}$-Eichungen zu beschränken, das sogenannte Nakanishi-Lautrup-Feld ${\displaystyle B}$ (von der Notation nicht mit dem B-Feld der klassischen Elektrodynamik zu verwechseln) eingeführt werden. Die Lagrangedichte lautet dann

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{kin}}+{\bar {c}}^{a}\int \mathrm {d} ^{4}y\,{\frac {\delta g^{a}(A',x)}{\delta \alpha ^{b}(y)}}{\Bigg |}_{\alpha =0}c^{b}(y)+B^{a}g^{a}+{\frac {\xi }{2}}B^{a}B^{a}}$

wobei ${\displaystyle g}$ für eine allgemeine Eichbedingung steht und ${\displaystyle \delta g/\delta \alpha }$ für die Funktionalableitung. Die ${\displaystyle R_{\xi }}$-Eichungen ergeben sich durch ${\displaystyle g^{a}=\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}}$ in Verbindung mit den Euler-Lagrange-Gleichungen für das Nakanishi-Lautrup-Feld ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial B^{a}=0}$. Aus dieser Gleichung wird ersichtlich, dass das Nakanishi-Lautrup-Feld nur ein Hilfsfeld ist, da für dieses keine eigenen Bewegungsgleichungen existieren. Die im allgemeinen Fall gültigen BRST-Symmetrieoperationen sind, sofern anders als in der ${\displaystyle R_{\xi }}$-Eichung

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {c}}^{a}\to {{\bar {c}}^{a}}'&={\bar {c}}^{a}-\theta B^{a}\\B^{a}\to {B^{a}}'&=B^{a}\end{aligned}}}$

Insbesondere ist die BRST-Symmetrieoperation nilpotent. Das bedeutet, für ein beliebiges Funktional der Feldoperatoren ${\displaystyle F[A,B,c,{\bar {c}}]}$ ist

${\displaystyle (F'-F)'-(F'-F)=0}$.

Definiert man ${\displaystyle F'-F=\theta sF}$ mit dem BRST-Operator ${\displaystyle s}$, so lässt sich dies kurz als

${\displaystyle ssF=0}$

ausdrücken. Insbesondere ist für die Operation des BRST-Operators auf die Eichbedingung:

${\displaystyle sg^{a}=\int \mathrm {d} ^{4}y\,{\frac {\delta g^{a}(A',x)}{\delta \alpha ^{b}(y)}}{\Bigg |}_{\alpha =0}c^{b}(y)}$

Dadurch kann die Lagrangedichte kompakt als

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{kin}}+s\left({\bar {c}}^{a}g^{a}+{\tfrac {\xi }{2}}{\bar {c}}^{a}B^{a}\right)}$

geschrieben werden. Da die BRST-Operation für die Eichfelder identisch zur normalen Eichtransformation ist, gilt automatisch ${\displaystyle s{\mathcal {L}}_{\text{kin}}=0}$. Die Lagrangedichte ist daher aufgrund der Nilpotenz von ${\displaystyle s}$ invariant unter BRST-Operatonen, ${\displaystyle s{\mathcal {L}}=0}$.