Ausgabenfunktion

Der Ausgangspunkt für die Herleitung der Ausgabenfunktion ist derselbe wie der zur Herleitung der Hicks’schen Nachfrage. Er besteht im Ausgabenminimierungsproblem

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}$ unter den ${\displaystyle n}$ Nebenbedingungen ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq {\overline {u}}}$.

(Details hierzu finden sich im Artikel Hicks’sche Nachfragefunktion.) Eine Lösung dieses mittels der Kuhn-Tucker-Methode lösbaren Optimierungsproblems bezeichnet man als Hicks’sche Nachfrage ${\displaystyle \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ der Vektor der nachgefragten Gütermengen, ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ der dazugehörige Preisvektor und ${\displaystyle {\overline {u}}}$ ein ex ante gefordertes (Mindest)nutzenniveau ist. In Worten handelt es sich bei dieser Nachfrage also um diejenige Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen –, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau ${\displaystyle {\overline {u}}}$ zu erreichen. Setzt man die Hicks’sche Nachfrage ${\displaystyle \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$ nun wieder in die minimierte Funktion ein, so bezeichnet man die resultierende Funktion als Ausgabenfunktion ${\displaystyle e}$. Es ist also

${\displaystyle e\equiv \sum _{i=1}^{n}\left[p_{i}\cdot x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})\right]{\overset {\mathrm {(vektoriell)} }{=}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$.

Während die Hicks’sche Nachfragefunktion die Gütermengen liefert, die im Ausgabenminimum nachgefragt werden, liefert die Ausgabenfunktion die Höhe der Ausgaben, welche dafür notwendig sind; mit anderen Worten ist ${\displaystyle \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$ das Argument des Minimums, während ${\displaystyle e}$ das tatsächliche Minimum ist, weshalb man bereits bei der obigen Darstellung des Minimierungsproblems direkt hätte postulieren können, dass es gleich der Ausgabenfunktion ist.

Es lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$ unter den üblichen Voraussetzungen – ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig und streng monoton steigend – unter anderem folgende Eigenschaften aufweist[1] Einige der Eigenschaften folgen auch schon unter der schwächeren Annahme der lokalen Nichtsättigung der zugrunde liegenden Präferenz-Indifferenz-Relation ${\displaystyle R}$.[2] (Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges ${\displaystyle x_{a}\in X}$ und für jede ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\epsilon }}$ um ${\displaystyle x_{a}}$ ein ${\displaystyle z\in U_{\epsilon }}$ existiert, mit dem ${\displaystyle zPx_{a}}$. Vgl. den Artikel Präferenzordnung.):

• homogen vom Grade eins in ${\displaystyle \mathbf {p} }$, sodass ${\displaystyle e(\alpha \mathbf {p} ,\alpha y)=\alpha e(\mathbf {p} ,y)\;\forall \mathbf {p} ,y}$ und ${\displaystyle \alpha >0}$;
• monoton steigend in ${\displaystyle \mathbf {p} }$;
• streng monoton steigend in ${\displaystyle {\overline {u}}}$ für ${\displaystyle \mathbf {p} >\mathbf {0} }$;
• konkav in ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Die Ausgabenfunktion wurde oben aus der Nutzenfunktion heraus konstruiert. Unter bestimmten Voraussetzungen ist es darüber hinaus auch möglich, aus der Ausgabenfunktion die Nutzenfunktion zu konstruieren.

• Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7.
• Martin Browning: Dual Approaches to Utility. In: Salvador Barberà, Peter J. Hammond und Christian Seidl (Hrsg.): Handbook of Utility Theory. Bd. 1. Kluwer Academic Publishers, Boston 1998, ISBN 0-7923-8174-2.
• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.

1. Vgl. hierfür weitgehend Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, Advanced Microeconomic Theory, 2011, S. 32–39
2. Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, Microeconomic Theory, 1995, S. 59
3. Zum Beweis: Martin Browning, Dual Approaches to Utility, in: Salvador Barberà/Peter J. Hammond/Christian Seidl (Hrsg.), Handbook of Utility Theory, Band 1, 1999, S. 129 f.