Auflösung (Blockplan)

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan. Eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ist eine Partition der Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ in Scharen ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$, so dass es positive ganze Zahlen ${\displaystyle \{\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}\}}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ auf genau ${\displaystyle \rho _{i}}$ Blöcken von ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ liegt. Die Zahlen ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich ${\displaystyle \rho }$, so spricht man von einer ${\displaystyle \rho }$-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. ${\displaystyle \rho }$-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung besitzt.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt ${\displaystyle b+1=v+c}$, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind ${\displaystyle B,C\in {\mathfrak {B}}_{i}}$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$, dann schreibt man auch ${\displaystyle B\parallel C}$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ setzt man ${\displaystyle m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,1\leq i\leq c}$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan, der eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ besitzt. Dann gilt[2]

1. ${\displaystyle m_{i}\cdot k=v\cdot \rho _{i},\quad (1\leq i\leq c),}$
2. ${\displaystyle \rho _{1}+\cdots +\rho _{c}=r,\quad m_{1}+\cdots +m_{c}=b,}$
3. Besitzt ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung, so ist k ein Teiler von ${\displaystyle v\cdot \rho }$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist ${\displaystyle b+1\geq v+c}$.[3] Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

• Jeder Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ besitzt die triviale Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}\}}$, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl ${\displaystyle r=b_{1}}$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, dann erhält man wieder eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ und ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {B}}_{c-1},{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ wieder Auflösungen von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt ${\displaystyle c=r=b_{1}}$, die innere Schnittzahl ist dann ${\displaystyle \mu _{I}=0}$, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie ${\displaystyle AG_{d}(n,q)}$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann ${\displaystyle m_{i}=b/r}$, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls ${\displaystyle d=n-1}$, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist ${\displaystyle m_{i}=b/r}$ für jede Parallelenschar gleich.

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Artikel zu Einzelfragen

• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147.
• Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]).

Lehrbücher

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240.
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2.
• D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.).

1. Beutelspacher (1982)
2. Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1
3. Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2
4. Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9
5. Beker (1977)
6. Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10