Assoziiertes Primideal

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring, sei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}$ ein Primideal und sei ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Modul. Dann heißt ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ assoziiert zu ${\displaystyle M}$, wenn ein ${\displaystyle m\in M}$ existiert, sodass gilt:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\mathrm {Ann} (m)}$.

Es gibt also ein ${\displaystyle m}$ in ${\displaystyle M}$, sodass für alle ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle R}$ gilt:

${\displaystyle r*m=0\Leftrightarrow r\in {\mathfrak {p}}}$

Die Menge der assoziierten Primideale wird mit ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ bezeichnet.

Es gelten folgende Sätze für einen Modul ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$:

• Ist ${\displaystyle U}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$, so ist

${\displaystyle \mathrm {Ass} (U)\subset \mathrm {Ass} (M)\subset \mathrm {Ass} (U)\cup \mathrm {Ass} (M/U)}$

• Ist ${\displaystyle M}$ nicht der Nullmodul und ${\displaystyle R}$ noethersch, so ist ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ nicht leer.
• Ist ${\displaystyle R}$ noethersch, so ist

${\displaystyle \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}}$

die Menge aller Nullteiler von ${\displaystyle M}$.

• Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt und ${\displaystyle R}$ noethersch, so gibt es eine Kette von Untermoduln (eine Kompositionsreihe)

${\displaystyle M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0}$

und eine Menge von Primidealen

${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}|0\leq i<n,{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\}\supset \mathrm {Ass} (M)}$

sodass ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ isomorph zu ${\displaystyle R/p_{i}}$ ist. Insbesondere ist in diesem Fall ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ eine endliche Menge.

• Allgemein: Ist ${\displaystyle R}$ noethersch und gibt es eine Kompositionsreihe

${\displaystyle M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0}$

sodass ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ isomorph zu ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ist (mit Primidealen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$), so gilt:

${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}\subset \mathrm {Supp} (M)}$

Diese drei Mengen besitzen dieselbe minimalen Elemente.

• Daraus folgt insbesondere, dass ein noetherscher Ring nur endlich viele minimale Primideale enthält.

Wenn ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring und ${\displaystyle M}$ ein Modul ungleich dem Nullmodul ist, dann ist der Träger von ${\displaystyle M}$ die Menge aller Primideale, die Obermenge eines zu ${\displaystyle M}$ assoziierten Primideals sind.

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• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra