arg max

Die normierte und nicht-normierte sinc Funktion haben ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle x = 0 angenommen wird.

Ist ${\displaystyle D}$ der Definitionsbereich einer Funktion ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle M\subseteq D}$ eine Teilmenge desselbigen, dann ist ${\displaystyle {\operatorname {arg\,max} }_{M}}$ von ${\displaystyle f}$ die Stelle ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }}$, an der die Funktion ihr Maximum auf ${\displaystyle M}$ annimmt, das heißt

${\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\underset {x\in M}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):\Leftrightarrow f(x_{\mathrm {max} })=\max _{x\in M}f(x).}$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

Falls ${\displaystyle M=D}$ gilt oder aus dem Kontext heraus klar ist, auf welche Menge ${\displaystyle M}$ sich die Maximierung bezieht, schreibt man verkürzend auch nur ${\displaystyle {\operatorname {arg\,max} }f}$.

Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird ${\displaystyle \arg \max }$ alternativ auch als mengenwertige Abbildung erklärt:

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ maximal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\leq f(x)\}=f^{-1}\left(\max _{x\in D}f(x)\right)}$

Analog dazu wird

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ minimal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\geq f(x)\}=f^{-1}\left(\min _{x\in D}f(x)\right)}$

definiert.

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.