Arkustangens und Arkuskotangens

Mathematische Formeln verwenden für den Arkustangens als Formelzeichen ${\displaystyle \arctan }$, ${\displaystyle \operatorname {atan} }$, ${\displaystyle \tan ^{(-1)}}$, ${\displaystyle \tan ^{\langle -1\rangle }}$ oder ${\displaystyle \tan ^{-1}}$.[2] Für den Arkuskotangens sind die Schreibweisen ${\displaystyle \operatorname {arccot} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arcctg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {acot} }$ und neuerdings auch ${\displaystyle \cot ^{-1}}$[3] in Gebrauch.

Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise ${\displaystyle f^{-1}}$ beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise ${\displaystyle \tan ^{-1}}$ die klassische Schreibweise ${\displaystyle \arctan }$ zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann (s. a. die Schreibweisen für die Iteration).

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[5]

${\displaystyle \arctan x\approx {\begin{cases}{\frac {x}{1+0{,}28x^{2}}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;|x|\leq 1\\{\frac {\pi }{2}}-{\frac {x}{x^{2}+0{,}28}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>1\\-{\frac {\pi }{2}}-{\frac {x}{x^{2}+0{,}28}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<-1\end{cases}}}$

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

${\displaystyle \operatorname {arccot} x\approx {\frac {3x}{3x^{2}-1}}\quad \;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x\gg 1}$

Statt aus Argumenten ${\displaystyle x}$ über 1 oder unter −1 lässt sich der Arkustangens aus Argumenten ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ zwischen −1 und 1 ableiten:

${\displaystyle \arctan x=\operatorname {sgn}(x)\cdot {\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {1}{x}}}$.

Gleiches gilt für den Arkuskotangens:

${\displaystyle \operatorname {arccot} x=\left(2-\operatorname {sgn}(x)\right)\cdot {\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}}$.

Wenn man (bspw. durch die erste Ersetzung) bei einem Argument (einem Tangenswert) ${\displaystyle y\in [0,1]}$ ankommt, kann man anschließend im Fall ${\displaystyle \textstyle y\in \left[{\frac {\sqrt {3}}{3}},1\right]}$ die Gleichung

${\displaystyle \arctan y={\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{2}}\cdot \arctan \left({\frac {1-y^{2}}{2y}}\right),}$

anwenden, sodass mit ${\displaystyle \textstyle z={\frac {1-y^{2}}{2y}}}$ das Argument des Arkustangens in jedem Fall (jetzt ${\displaystyle z}$, sonst ${\displaystyle y}$) ins Intervall ${\displaystyle \textstyle \left[0,{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right]}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\approx 0{,}577350\dotso }$ zu liegen kommt.

${\displaystyle \operatorname {arccot} {x}={\begin{cases}\arctan \displaystyle {\frac {1}{x}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\arctan \displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)+\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \arctan {x}={\begin{cases}\operatorname {arccot} \displaystyle {\frac {1}{x}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\operatorname {arccot} \displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)-\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}-\arctan {x}=\operatorname {arccot} {x}-\arctan {\frac {1}{x}}={\begin{cases}0&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}}$

Wegen der Punktsymmetrie ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan(x)}$ ist mit ${\displaystyle (x,y)}$ auch ${\displaystyle (-x,-y)}$ ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Die Additionstheoreme für Arkustangens und Arkuskotangens erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Tangens und Kotangens:

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\left\{{\begin{matrix}\arctan(\tan(\arctan x+\arctan y))=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)&{\text{wenn }}xy<1\\\pi +\arctan(\tan(\arctan x+\arctan y))=\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)&{\text{wenn }}x+y\geq 0{\text{ und }}xy>1\\-\pi +\arctan(\tan(\arctan x+\arctan y))=-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)&{\text{wenn }}x+y<0{\text{ und }}xy>1\\\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arccot}(\cot(\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y))=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy-1}{x+y}}\right)&{\text{wenn }}x+y>0\\\pi +\operatorname {arccot}(\cot(\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y))=\pi +\operatorname {arccot} \left({\frac {xy-1}{x+y}}\right)&{\text{wenn }}x+y<0\\\end{matrix}}\right.}$

Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte

${\displaystyle 2\arctan x=\left\{{\begin{matrix}\arctan \left({\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn }}x^{2}<1\\\pi +\arctan \left({\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn }}x\geq 0{\text{ und }}x^{2}>1\\-\pi +\arctan \left({\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn }}x<0{\text{ und }}x^{2}>1\\\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle 2\operatorname {arccot} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arccot} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)&{\text{wenn }}x>0\\\pi +\operatorname {arccot} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)&{\text{wenn }}x<0\\\end{matrix}}\right.}$

Aus dem ersten Gesetz lässt sich für hinreichend kleine ${\displaystyle x,y}$ mit

${\displaystyle x\oplus y:=\tan(\arctan x+\arctan y)={\frac {x+y}{1-xy}}}$

das Gruppengesetz ${\displaystyle \oplus }$ ableiten. Es gilt also beispielsweise:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\oplus {\frac {1}{3}}={\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {1}{6}}}}=1,}$

woraus sich

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}=\arctan {\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {1}{6}}}}=\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}}$

errechnet. Ferner gilt

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\oplus {\frac {1}{4n^{3}+3n}}={\frac {4n^{3}+4n}{4n^{4}+3n^{2}-1}}={\frac {4n(n^{2}+1)}{(4n^{2}-1)(n^{2}+1)}}={\frac {4n}{4n^{2}-1}}=2\odot {\frac {1}{2n}}}$

und dementsprechend

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{n}}=2\,\arctan {\frac {1}{2n}}-\arctan {\frac {1}{4n^{3}+3n}}.}$

Die zwei Gleichungen als Arkuskotangens geschrieben:

${\displaystyle \operatorname {arccot} {2}+\operatorname {arccot} {3}=\operatorname {arccot} {\frac {6-1}{2+3}}=\operatorname {arccot} {1}={\frac {\pi }{4}}}$

und

${\displaystyle \operatorname {arccot} {n}=2\,\operatorname {arccot}(2n)-\operatorname {arccot}(4n^{3}+3n).}$

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall ${\displaystyle x=1,}$ die Leibniz-Formel

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dotsb }$

Da sie nur extrem langsam (logarithmisch) konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\operatorname {arccot} {5}-\operatorname {arccot} {239},}$

um die ersten 100 Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller (linear) und wird auch heute noch für die Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von Carl Størmer (1896):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\,\operatorname {arccot} {57}+7\,\operatorname {arccot} {239}-12\,\operatorname {arccot} {682}+24\,\operatorname {arccot} {12943},}$[7]

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

${\displaystyle (57+\mathrm {i} )^{44}\,(239+\mathrm {i} )^{7}\,(682-\mathrm {i} )^{12}\,(12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

gleich sind.[8]

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei es hier um die Gaußsche Zahl

${\displaystyle (5+\mathrm {i} )^{4}\,(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 114244}$

geht, die mit einem Taschenrechner berechnet werden kann.

Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man

${\displaystyle \arctan(a+b\,\mathrm {i} )=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\left(\arctan {\frac {a^{2}+b^{2}-1}{2a}}+{\frac {\pi }{2}}\,\operatorname {sgn}(a)\right)&\;a\neq 0\\0&\;a=0,\,|b|\leq 1\\\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,\operatorname {sgn}(b)&\;a=0,\,|b|>1\\\end{array}}\right\}}$ ${\displaystyle {}+\mathrm {i} \cdot {\frac {1}{2}}\,\operatorname {artanh} {\frac {2b}{a^{2}+b^{2}+1}}}$  mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$

eine Darstellung, die quasi schon in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist. Wie im Reellen gilt

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)}$

mit ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} .}$

Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens (wie auch den Arkuskotangens) durch ein Integral und durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}&\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,\int _{0}^{z}\left({\frac {\mathrm {d} t}{1+\mathrm {i} t}}+{\frac {\mathrm {d} t}{1-\mathrm {i} t}}\right)\\\displaystyle ={\frac {\ln(1+\mathrm {i} z)-\ln(1-\mathrm {i} z)}{2\mathrm {i} }}&\displaystyle ={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\,\ln {\frac {1+\mathrm {i} z}{1-\mathrm {i} z}}\end{array}}}$

für ${\displaystyle z}$ in der zweifach geschlitzten Ebene ${\displaystyle {}^{|}\mathbb {C} _{|}:=\mathbb {C} \setminus \{\mathrm {i} y\,|\,y\in \mathbb {R} ,|y|\geq 1\}.}$ Das Integral hat einen Integrationsweg, der die imaginäre Achse nicht kreuzt außer evtl. im Einheitskreis. Es ist in diesem Gebiet ${\displaystyle {}^{|}\mathbb {C} _{|}}$ regulär und eindeutig.[9]

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

${\displaystyle {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}.}$

Ist die Diskriminante ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

${\displaystyle t={\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}}$

in die Form

${\displaystyle {\frac {4a}{-D}}\,{\frac {1}{1+t^{2}}}}$

bringen; eine Stammfunktion ist also

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {-D}}}\,\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}.}$

Und so entsteht das Endresultat:

${\displaystyle {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl [}{\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {\biggl (}{\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Ist ein Punkt ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ in der Ebene durch Polarkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$ gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ durch die Gleichungen

${\displaystyle {\begin{array}{ll}x=r\cdot \cos(\varphi )\\y=r\cdot \sin(\varphi )\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\biggr \}}\;({\text{P}}\to {\text{K}})}$

bestimmt.

Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle ({\text{K}}\to {\text{P}}_{r})}$

des Punktes ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ vom Ursprung ${\displaystyle {\mathsf {O}}(0,0)}$ zur Lösung. Ist nun ${\displaystyle r=0,}$ dann ist auch ${\displaystyle x=y=0,}$ und es spielt keine Rolle, welchen Wert ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.

Ist aber ${\displaystyle r\neq 0,}$ dann ist ${\displaystyle \varphi ,}$ weil die Funktionen ${\displaystyle \sin }$ und ${\displaystyle \cos }$ die Periode ${\displaystyle 2\pi }$ haben, durch die Gleichungen ${\displaystyle ({\text{P}}\to {\text{K}})}$ nur modulo ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }$ bestimmt, d. h., mit ${\displaystyle \varphi }$ ist auch ${\displaystyle \varphi +2\pi n}$ für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ eine Lösung.

Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen. Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.

Der simple Arkustangens ${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$ (s. Abb. 3) reicht allerdings nicht aus. Denn wegen der Periodizität des Tangens von ${\displaystyle \pi }$ muss dessen Definitionsmenge vor der Umkehrung auf eine Periodenlänge von ${\displaystyle \pi }$ eingeschränkt werden, was zur Folge hat, dass die Umkehrfunktion (der Arkustangens) keine größere Bildmenge haben kann.

Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Halber Winkel

In der nebenstehenden Abb. 3[10] ist die Polarachse (die mit der ${\displaystyle +x}$-Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag ${\displaystyle r}$ in die ${\displaystyle -x}$-Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung) ${\displaystyle {\mathsf {O}}}$ bis zum Punkt ${\displaystyle {\mathsf {N}}.}$ Das Dreieck ${\displaystyle {\mathsf {NOP}}}$ ist ein gleichschenkliges, sodass die Winkel ${\displaystyle \sphericalangle {\mathsf {PNO}}}$ und ${\displaystyle \sphericalangle {\mathsf {OPN}}}$ gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte eines von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel ${\displaystyle \varphi }$ des Dreiecks ${\displaystyle {\mathsf {NOP}}.}$ Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel ${\displaystyle \sphericalangle {\mathsf {XOP}}.}$ Mit dem Abszissenpunkt ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle {\mathsf {NAP}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {|{\text{Gegenkathete }}{\mathsf {PA}}|}{|{\text{Ankathete }}{\mathsf {AN}}|}}={\frac {y}{r+x}},}$

was nach ${\displaystyle \varphi }$ aufgelöst

${\displaystyle \varphi =2\cdot \arctan \left({\frac {y}{r+x}}\right)}$

${\displaystyle ({\text{K}}\to {\text{P}}_{\varphi }(A))}$

ergibt. Die Gleichung versagt, wenn ${\displaystyle r+x=0}$ ist. Dann muss wegen ${\displaystyle |x|\leq |r|\Rightarrow x=-|r|}$ auch ${\displaystyle y=0}$ sein. Wenn jetzt ${\displaystyle x=0}$ ist, dann handelt es sich um den singulären Fall. Ist aber ${\displaystyle x<0,}$ dann sind die Gleichungen ${\displaystyle ({\text{P}}\to {\text{K}})}$ durch ${\displaystyle \varphi =+\pi }$ oder ${\displaystyle \varphi =-\pi }$ erfüllt.[11] Das ist in Einklang mit den Bildmengen ${\displaystyle ]-\pi ,+\pi ]}$ resp. ${\displaystyle [-\pi ,+\pi [}$ der Funktion im folgenden Abschnitt.

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten

Ein anderer Weg, um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, ist in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen gewählt worden, und zwar eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} ,}$ bspw. im Intervall ${\displaystyle ]-\pi ,\pi ],}$ und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctan2} (x,y)}$

${\displaystyle ({\text{K}}\to {\text{P}}_{\varphi }(B))}$

Zusammen mit der Gleichung ${\displaystyle {\color {Blue}({\text{K}}\to {\text{P}}_{r})}}$ erfüllt jede der beiden Lösungen ${\displaystyle {\color {Blue}({\text{K}}\to {\text{P}}_{\varphi }(A))}}$ und ${\displaystyle {\color {Blue}({\text{K}}\to {\text{P}}_{\varphi }(B))}}$ die Gleichungen ${\displaystyle {\color {Blue}({\text{P}}\to {\text{K}})}}$:

${\displaystyle x=r\cos \varphi }$       und

${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ ,

und zwar für ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ mit jedem beliebigen ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} .}$

Abb. 4: Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung ${\displaystyle y}$ der Gleichung ${\displaystyle x=\tan y}$ so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert ${\displaystyle \eta }$ liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter ${\displaystyle \eta }$ modifizierte Arkustangens-Funktion

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }x:=\arctan x+\pi \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}.}$

Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {rni} }$ rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Arkustangens:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Arkuskotangens:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot}(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Einige Arkustangenssummen divergieren:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left({\frac {1}{n}}\right)=+\infty }$

Vergleichsformel ohne Arkustangens:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty }$

Andere Arkustangenssummen konvergieren:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left({\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi }{4}}+\arctan \left[-\cot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi \right)\tanh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi \right)\right]\approx 1{,}42474177842998}$

Die Abkürzung tanh bringt die Funktion Tangens Hyperbolicus zum Ausdruck.

Vergleichsformel ohne Arkustangens:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}644934066848}$

Folgende Formel handelt von den Fibonacci-Zahlen und ergibt ein einfaches Resultat:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left({\frac {1}{f_{2n-1}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5707963267948966}$

Denn für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt dieser[14] Zusammenhang:

${\displaystyle \arctan \left({\frac {1}{f_{2n}}}\right)=\arctan \left({\frac {1}{f_{2n+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{f_{2n+2}}}\right)}$

Mit der Tangenssumme ausgedrückt:

${\displaystyle {\frac {1}{f_{2n}}}={\frac {1}{f_{2n+1}}}\oplus {\frac {1}{f_{2n+2}}}}$

Dagegen ergibt die Vergleichsformel ohne Arkustangens ein elliptisches[15][16] Resultat:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{8}}\left[\vartheta _{00}(\varphi )^{2}-\vartheta _{01}(\varphi )^{2}\right]\approx 1{,}8245151574}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$

Die kleinen griechischen Thetasymbole stellen die Jacobische Thetafunktion dar.

Die Summenreihen mit dem Arkustangens als Summanden dienen auch zur Beschreibung einiger Funktionen. Beispielsweise hat die Gudermannfunktion für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ diese Identität:

${\displaystyle \operatorname {gd} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left\{2\arctan \left[{\frac {2\,x}{(4n-3)\,\pi }}\right]-2\arctan \left[{\frac {2\,x}{(4n-1)\,\pi }}\right]\right\}}$

Diese Summenreihe geht als Ursprungsstammfunktion aus der Cauchyschen Summenreihe für den Sekans Hyperbolicus hervor:

${\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(16n-12)\,\pi }{(4n-3)^{2}\,\pi ^{2}+4\,x^{2}}}-{\frac {(16n-4)\,\pi }{(4n-1)^{2}\,\pi ^{2}+4\,x^{2}}}\right]}$