Antisymmetrische Funktion

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion ${\displaystyle f\colon V^{n}\to W}$ antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ und alle Vektoren ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}\in V}$

${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {sgn} (\sigma )f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})}$

gilt, wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ das Signum der Permutation ist.

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle ${\displaystyle n!}$ möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form ${\displaystyle (i~j)}$ schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ umkehrt, also

${\displaystyle f(\dotsc ,x_{i},\dotsc ,x_{j},\dotsc )=-f(\dotsc ,x_{j},\dotsc ,x_{i},\dotsc )}$

für ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ mit ${\displaystyle i<j}$ ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktionen, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von ${\displaystyle V^{n}}$ nach ${\displaystyle W}$ (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

• ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
• die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

Durch Antisymmetrisierung, das heißt durch eine gewichtete Summation über alle möglichen Permutationen der Form

${\displaystyle {\begin{aligned}Af(x_{1},\dotsc ,x_{n})&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n} \atop {\text{gerade}}}f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})-{\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n} \atop {\text{ungerade}}}f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\end{aligned}}}$

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion ${\displaystyle f}$ eine zugehörige antisymmetrische Funktion ${\displaystyle Af}$ zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator ${\displaystyle A}$ führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn ${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man ${\displaystyle Af(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ auch als Slaterdeterminante schreiben.

• Alternierende Gruppe
• Graßmann-Algebra
• Levi-Civita-Symbol

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik. Springer, 2010, ISBN 3-8348-1016-9.

• Robert Milson, Thomas Foregger, Joe Corneli: Antisymmetric Mapping. In: PlanetMath. (englisch)