Helmholtz-Spule

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwinden in der Mitte die erste, zweite und dritte Ableitung der Feldfunktion in alle Richtungen, am Rand fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Die Helmholtz-Spule ist damit die einfachste Spulenanordnung um ein nahezu konstantes Magnetfeld innerhalb eines endlichen Volumens zu erzeugen und wird häufig in physikalischen Experimenten verwendet. Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – streng linear vom Spulenstrom abhängig. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtz-Spule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern einsetzbar.

Größere Abstände als der Spulenradius R ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen.

Helmholtz-Spule in einer Atomuhr

• Bestimmung der spezifischen Elektronenladung nach Helmholtz mit Fadenstrahlrohr
• Qualitätskontrolle von Dauermagneten
• Hall-Effekt-Untersuchungen
• Herstellung feldfreier Räume durch gezielte Abschirmung des Erdmagnetfelds
• Kalibrierung von Magnetfeldsonden und Magnetometern
• Hochfrequenz-Spule für die Magnetresonanztomographie (MRT)
• Gradientenspule (Maxwell-Spule, s. unten) für die MRT
• Magnetfeldtherapie (bewiesen unwirksame, angebliche Behandlungsmethode)

Feldverlauf auf der Symmetrieachse einer Helmholtzspule.

Die magnetische Flussdichte einer Helmholtz-Spule ergibt sich als Summe der Flussdichten der beiden kreisförmigen Leiterschleifen. Diese sind durch das Biot-Savart-Gesetz berechenbar, was aber im Allgemeinen auf analytisch nicht lösbare elliptische Integrale führt. Auf der Symmetrieachse (z-Achse) beträgt das Feld einer einzelnen Leiterschleife, die um ${\displaystyle z_{0}}$ zentriert ist,

${\displaystyle {\vec {B}}_{\mathrm {Schleife} }(z)={\frac {\mu _{0}I}{2}}\cdot {\frac {R^{2}}{\left(R^{2}+(z-z_{0})^{2}\right)^{3/2}}}\,{\vec {e}}_{z}}$

wobei ${\displaystyle \mu _{0}}$ die magnetische Feldkonstante, ${\displaystyle R}$ der Spulenradius und ${\displaystyle I}$ die Spulenstromstärke ist. Das gesamte Feld eines Spulenpaares mit gleichsinnigen Strömen und Spulenabstand ${\displaystyle d}$ beträgt daher

${\displaystyle {\vec {B}}(z)={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\cdot \left({\frac {R^{2}}{\left(R^{2}+(z-d/2)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {R^{2}}{\left(R^{2}+(z+d/2)^{2}\right)^{3/2}}}\right)\,{\vec {e}}_{z}}$, wobei ${\displaystyle N}$ die Windungszahl je Spule ist.

Die Flussdichte im Zentrum der Anordnung bei ${\displaystyle z=0}$ ist aufgrund der Spulensymmetrie eine gerade Funktion, das heißt, dass alle Ableitungen ungerader Ordnung nach ${\displaystyle z}$ dort verschwinden. Insbesondere ist das Feld dort für beliebige Spulenabstände ${\displaystyle d}$ in linearer Näherung konstant. Die Helmholtz-Spule ist der spezielle Fall mit einer maximal homogenen Flussdichte im Zentrum der Anordnung, bei dem auch noch die zweite Ableitung verschwindet,

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}{\vec {B}}(z)\right|_{z=0}=0}$.

Diese Bedingung ist erfüllt für

${\displaystyle d=R}$,

also wenn der Abstand genau dem Radius entspricht. Um das Zentrum herum variiert die Feldstärke dann nur in vierter Ordnung ${\displaystyle {\vec {B}}(z)={\vec {B}}(0)+{\mathcal {O}}(z^{4})}$.

Die Flussdichte im Zentrum beträgt:

${\displaystyle {\vec {B}}(0)={\frac {8}{\sqrt {125}}}\cdot {\frac {\mu _{0}NI}{R}}\cdot {\vec {e}}_{z}}$

Eine Helmholtz-Spule mit ${\displaystyle R=d=1\,\mathrm {m} }$ und ${\displaystyle NI=1\,\mathrm {A} }$ erzeugt beispielsweise eine zentrale Flussdichte von ${\displaystyle B(0)=0{,}899\,\mathrm {\mu T} }$.

Für die beiden in Reihe geschalteten Spulenteile ergibt sich aufgrund der symmetrischen Anordnung der Ansatz ${\textstyle L=2\cdot L_{11}+2\cdot L_{12}}$. Dabei ist ${\displaystyle L_{11}}$ die Selbstinduktivität einer einzelnen Teilspule. Die Gegeninduktivität ${\displaystyle L_{12}}$ ergibt sich aus der magnetischen Kopplung beider Spulenteile aufeinander und wirkt auf beide Spulenteile gleich.

Es handelt sich um kurze Zylinderspulen, deshalb gilt für die Selbstinduktivität die Näherungsformel

${\displaystyle L_{11}=N^{2}\cdot {{\mu _{0}\cdot \pi R^{2}} \over {l+2R/2{,}2}}}$ .

${\displaystyle l}$ ist die Länge einer Zylinderspule.

Die Gegeninduktivität lässt sich für die vorliegende Anordnung mit dem Neumann-Kurvenintegral berechnen. Nach der Integration ergibt sich die Formel

${\displaystyle L_{12}=4{,}941\cdot N^{2}\cdot {\mu _{0} \over 4\pi }\cdot R}$ .

Insgesamt hat eine Helmholtz-Spule also die Induktivität

${\displaystyle L=2\cdot N^{2}\cdot R\cdot \mu _{0}\cdot \left({\pi R \over {l+2R/2{,}2}}+{4{,}941 \over 4\pi }\right)}$ .

Bei einer Anti-Helmholtz-Spule ergibt sich die Induktivität aus dem Ansatz ${\textstyle L=2\cdot L_{11}-2\cdot L_{12}}$. Die Gegeninduktivität fließt negativ in die Gesamtinduktivität ein, da sich die Magnetfelder destruktiv überlagern. Insgesamt also:

${\displaystyle L=2\cdot N^{2}\cdot R\cdot \mu _{0}\cdot \left({\pi R \over {l+2R/2{,}2}}-{4{,}941 \over 4\pi }\right)}$

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtz-Spulen dargestellt:

• 
  Feldlinien
• 
  Spule im Labor
• 
  Magnetfeld der Helmholtz-Spule mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht
• 
  Berechnetes Magnetfeld der Helmholtz-Spule
• 
  Magnetische Flussdichte entlang der Achse durch das Zentrum der Spulen; z=0 ist der Punkt in der Mitte zwischen den Spulen.
• 
  Betrag der magnetischen Flussdichte als Funktion des Ortes. Die Schnittebene geht durch das Zentrum.
• 
  Maxwell-Spule: Feldstärkeverlauf bei optimiertem Spulenabstand von ${\displaystyle d={\sqrt {3}}\,R}$ und Einzelfelder in willkürlichen Einheiten.

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• Berechnung des Magnetfeldes einer Stromschleife

1. ${\displaystyle d/a={\sqrt {\left(1/3+{\sqrt {610}}/108\right)^{1/3}+\left(1/3-{\sqrt {610}}/108\right)^{1/3}-1}}\approx 0{,}5445}$
2. Carl Heller: Über die Erzeugung großräumiger homogener Magnetfelder zum Studium des Verhaltens von Magnetkompassen und Kompensiermitteln auf verschiedenen magnetischen Breiten. In: Deutsche Hydrografische Zeitschrift. 8. Jahrgang, Nr. 4, 1955, S. 157–164, doi:10.1007/BF02019812.
3. James Clerk Maxwell: Treatise on Electricity and Magnetism. Band 2. The Clarendon Press, Oxford 1873, ISBN 0-486-60636-8, S. 320 (archive.org).
4. Werner Braunbek: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 88. Jahrgang, Nr. 5–6, 1934, S. 399–402, doi:10.1007/BF01343500.
5. G. Fanselau: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 54. Jahrgang, Nr. 3–4, 1929, S. 260–269, doi:10.1007/BF01339844.
6. J. R. Barker: New Coil Systems for the Production of Uniform Magnetic Fields. In: Journal of Scientific Instruments. 26. Jahrgang, 1949, S. 273–275, doi:10.1088/0950-7671/26/8/307.
7. serviciencia.es Prospekt der Fa. Serviciencia, S. L. / Spanien, abgerufen 2017-09-18
8. igep.tu-bs.de 3D-Braunbek-Spulensystem in Magnetsrode - einem geomagnetischen Laboratorium