Mondbahn

Der Orbit des Mondes um die Erde ist veränderlich und näherungsweise eine Ellipse, im Mittel beträgt deren große Halbachse 383.398 km und ihre numerische Exzentrizität circa 0,055. Dies entspräche einem Perigäumsabstand von 362.102 km und einem Apogäumsabstand von 404.694 km von der Erde. Wegen der erwähnten Störungen schwanken jedoch sowohl die große Halbachse als auch die Exzentrizität (→ Bahnstörungen), so dass auch größere und kleinere Extremdistanzen möglich sind. Die zeitlich gerechnet durchschnittliche Entfernung Erde–Mond beträgt rund 385.000 km, für Näheres siehe den Abschnitt Erdabstand.

Der Mond bewegt sich auf dieser Bahn rechtläufig (in gleiche Richtung wie die Erde und die anderen Planeten des Sonnensystems), also vom Nordpol der Ekliptik aus betrachtet gegen den Uhrzeigersinn. Für einen Beobachter auf der Erde ist infolge der Erdrotation eine scheinbare tägliche Bewegung des Mondes über dem Horizont zu sehen, er geht wie Sonne und Sterne im Osten auf und im Westen unter. Doch ist diese scheinbare Bewegung langsamer als die der Fixsterne, er bleibt gegenüber dem Sternenhimmel täglich etwa 13° zurück und erreicht die vorige Stellung wieder nach 27,3 Tagen, der Periode eines siderischen Monats.

Auf seiner Umlaufbahn um die Erde beträgt die Bahngeschwindigkeit des Mondes im Mittel 1,023 km/s, sie schwankt zwischen 0,964 km/s und 1,076 km/s.[8]

Die Angabe von 383.400 km für die große Halbachse bezieht sich auf ein Bezugssystem mit dem Ursprung im Erdmittelpunkt. Bezieht man die Bewegung stattdessen auf das Baryzentrum, den gemeinsamen Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems, laufen Mond und Erde auf Ellipsen um, für die das Baryzentrum einen gemeinsamen Brennpunkt darstellt. Da die Mondmasse etwa 1 / 81,3[8] der Erdmasse beträgt, liegt das Baryzentrum dem Massenverhältnis entsprechend im Mittel 385.000 km / (81,3+1) ≈ 4680 km vom Erdmittelpunkt entfernt – also nur etwa 1700 km tief im Erdmantel. Der Erdmittelpunkt läuft somit einmal im Monat in einem mittleren Abstand von 4680 km um das Baryzentrum; die Bahnellipse des Mondes um das Baryzentrum hat entsprechend eine große Halbachse von 383.400 km * 81,3 / 82,3 ≈ 378.700 km. Erdmittelpunkt, Baryzentrum und Mondmittelpunkt liegen dabei stets auf einer gemeinsamen Linie und in einer gemeinsamen Ebene, der Mondbahnebene. Da diese um 5,2° gegen die Ekliptik geneigt ist, läuft der Erdmittelpunkt immer etwas ober- oder unterhalb der durch den Lauf des Baryzentrums definierten Ekliptikebene um die Sonne. Die ekliptikale Breite der Erde – ihre Abweichung von der Ekliptikebene, betrachtet von der Sonne aus – kann bis zu 0,7″ betragen.

Die Knoten der Mondbahn
(Neigung i übertrieben dargestellt)

Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, die Ekliptikebene, im Mittel um ca. 5,2° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Die Neigung schwankt allerdings mit einer Periode von 173 Tagen (ein halbes Finsternisjahr) um etwa ±0,15° um diesen mittleren Wert (→ Bahnstörungen).

Die Schnittlinie von Erd- und Mondbahnebene (die Knotenlinie) steht nicht mit fixer Ausrichtung im Raum, wie es bei Abwesenheit von Störungen der Fall wäre, sondern vollführt in 18,61 Jahren eine volle rückläufige Drehung um 360° entlang der Ekliptik (→ Bahnstörungen). Aufgrund dieser Präzessionsbewegung verschieben sich die Zeiten, zu denen die Mondbahn abwechselnd über und unter der Ekliptik verläuft, so dass die Bahn des Mondes im Mittel über einen ganzen Präzessionszyklus mit der Ekliptikebene zusammenfällt. Dies unterscheidet den Erdmond von den meisten anderen Monden, die entweder im Mittel in der Äquatorebene ihres Planeten kreisen oder als eingefangene Monde sehr starke Bahnneigungen aufweisen (siehe Laplace-Ebene).

Auch die Lage der Apsidenlinie, welche die Ausrichtung der großen Halbachse der Ellipse innerhalb der Bahnebene beschreibt, bleibt nicht konstant, da die Störungen eine Apsidendrehung mit einer Periode von 8,85 Jahren bewirken (→ Bahnstörungen). In diesem Zeitraum läuft das Perigäum einmal rechtläufig um die ganze Bahn.

Das zeitliche arithmetische Mittel des veränderlichen Abstandes zwischen den Mittelpunkten von Mond und Erde beträgt 385 001 km.[9] Dies lässt sich z. B. aus der von Chapront und Chapront-Touzé gegebenen Reihenentwicklung des Abstandes ersehen:[9]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d}{\mathrm {km} }}=385000{,}5584&\ -\ &20905{,}3550&\cdot \cos(G_{M})\\&\ -\ &\ 3699{,}1109&\cdot \cos(2D-G_{M})\\&\ -\ &\ 2955{,}9676&\cdot \cos(2D)\\&\ -\ &\ \ 569{,}9251&\cdot \cos(2G_{M})\\&\ \pm \ &\dotsc &\end{alignedat}}}$

Bildet man das arithmetische Mittel über diesen Ausdruck, so fallen die Cosinus-Terme fort, und als Mittelwert bleiben gerundet 385 001 km. (Zur Bedeutung von G_M und D siehe → Fundamentalargumente.)

Traditionell werden jedoch 384 400 km angegeben. Dieser Wert entstammt einer anderen mathematischen Formulierung. Die Mondtheorie von E. W. Brown gab die Entfernung nicht unmittelbar in Kilometern, sondern als Horizontalparallaxe des Mondes an:[9]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\pi =0{,}9507245&\ +\ &0{,}0518128^{\circ }&\cdot \cos(G_{M})\\&\ +\ &0{,}0095303^{\circ }&\cdot \cos(2D-G_{M})\\&\ +\ &0{,}0078422^{\circ }&\cdot \cos(2D)\\&\ +\ &0{,}0008571^{\circ }&\cdot \cos(2D+G_{M})\\&\ \pm \ &\dots &\end{alignedat}}}$

Bildet man auch hier das arithmetische Mittel, so bleibt ebenfalls nur der konstante Term, und die mittlere Mondparallaxe beträgt 0,950 724 5°. Berechnet man daraus den Abstand des Mondes[9]

${\displaystyle d^{\prime }={\frac {6378{,}14\ {\text{km}}}{\sin(\pi )}}}$

so erhält man 384 399 km, was gerundet dem traditionell gebräuchlichen Wert entspricht.

Die beiden Zahlenwerte sind nicht identisch, weil einmal über die Entfernung selbst und einmal über deren Kehrwert (in Gestalt der Parallaxe) gemittelt wird, siehe harmonisches Mittel. Aus mathematischer Sicht sind beide Mittelwertbildungen gleichermaßen legitim.

Die Perigäums- und Apogäumsabstände unterliegen starken Schwankungen.

Wäre die Mondbahn eine ungestörte Ellipse, so würde der Mond stets dieselben Perigäums- und Apogäumsabstände durchlaufen. Da die Exzentrizität der Bahn jedoch periodischen Veränderungen unterliegt, ergeben sich unterschiedliche Extremabstände, je nachdem, wie genau ein Apsidendurchlauf des Mondes mit einer besonders großen oder kleinen Exzentrizität zusammenfällt. Die Exzentrizität nimmt alle 206 Tage ein Maximum an, wenn die große Halbachse der Mondbahn in Richtung der Sonne zeigt.[10] Dann ist der Perigäumsabstand besonders gering und der Apogäumsabstand besonders groß. Steht die große Halbachse im rechten Winkel zur Sonnenrichtung, dann nimmt die Exzentrizität ein Minimum an und die Apsidenabstände sind weniger extrem.[11] Darüber hinaus sind auch diese Veränderungen der Bahn nicht immer gleich groß und zusätzlich langfristigen Driften unterworfen. Es existiert daher eine komplizierte Verteilung von Perigäums- und Apogäumsabständen, ohne dass ein eindeutiger größter oder kleinster Wert angegeben werden könnte. Je extremer ein Abstand ist, umso seltener tritt er auf, es besteht aber praktisch immer die Möglichkeit, bei hinreichender Suche einen noch extremeren Wert zu finden. Verschiedene Autoren nennen daher auch unterschiedlich gerundete Extremwerte.

Häufigkeitsverteilung der Perigäums- und Apogäumsabstände

Einen vereinfachten Überblick über die Verteilung der auftretenden Abstände gibt die folgende Tabelle:[12]

Wie zu erkennen ist, variieren die Perigäumsabstände deutlich stärker als die Apogäumsabstände.

Einzelwerte können auch außerhalb der angegebenen gerundeten Grenzen auftreten. Als Rekordwerte im Zeitraum von 1500 v. Chr. bis 8000 n. Chr. finden sich:[11]

• größter Apogäumsabstand: 406 719,97 km am 7. Januar 2266
• kleinster Perigäumsabstand: 356 352,93 km am 13. November 1054 v. Chr.

Ein besonders geringer Perigäumsabstand wird dann erreicht, wenn der Mond das Perigäum als Vollmond durchläuft, die Erde sich im Aphel befindet und der Mond gleichzeitig seinen größtmöglichen Abstand von der Ekliptik (Inklination, also größte nördliche oder südliche Breite) hat. Ein besonders großer Apogäumsabstand wird erreicht, wenn der Mond das Apogäum als Neumond durchläuft, die Erde sich im Perihel befindet und der Mond seinen größten Ekliptikabstand hat.[13]

Zur Interpretation und Berechnung der im Folgenden erläuterten Störungen werden die jeweils für den gesuchten Zeitpunkt zu bestimmenden „Fundamentalargumente“ benötigt, welche die mittlere Position des Mondes und der Sonne bezüglich verschiedener Referenzpunkte beschreiben:[20]

Dabei ist t die Anzahl der seit dem Standardäquinoktium J2000.0 verstrichenen Tage: t = JD − 2451545,0.

Schwankungen der großen Halbachse.

Dem Mittelwert 383 397,8 km der großen Halbachse überlagern sich zahlreiche periodische Schwankungen. Die bedeutendsten sind eine Schwankung um ±3400,4 km mit einer Periode von 14,76 Tagen und eine um ±635,6 km mit einer Periode von 31,81 Tagen.[21]

Wie die Reihenentwicklung zeigt[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}a=383\;397{,}8\;\mathrm {km} &+3\;400{,}4\;\mathrm {km} \cdot \cos(2D)\\&-\ 635{,}6\;\mathrm {km} \cdot \cos(2D-G_{M})\\&-\ 235{,}6\;\mathrm {km} \cdot \cos(G_{M})\\&\pm \ \dots \end{aligned}}}$

nimmt dabei der führende Schwankungsterm den größten positiven Wert an, wenn die Elongation D den Wert 0° oder 180° annimmt, also bei Neumond und Vollmond. Die größten negativen Werte dieses Terms ergeben sich im ersten und letzten Viertel (D = 90° oder 270°).

Schwankungen der Exzentrizität.

Dem Mittelwert 0,055 546 der Exzentrizität überlagern sich ebenfalls zahlreiche periodische Schwankungen. Die bedeutendsten sind eine Schwankung um ±0,014 217 mit einer Periode von 31,81 Tagen und eine Schwankung um ±0,008 551 mit einer Periode von 205,9[22] Tagen.[21]

Die Reihenentwicklung[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}e=0{,}055546&+0{,}014216\cdot \cos(2D-G_{M})\\&+0{,}008551\cdot \cos(2D-2G_{M})\\&-0{,}001383\cdot \cos(G_{M})\\&\pm \dotsc \end{aligned}}}$

lässt erkennen, dass die Exzentrizität ein Maximum annimmt, wenn die große Halbachse der Mondbahn in Richtung der Sonne zeigt (dann ist 2D − 2G_M = 0° oder 360°, also D = G_M oder G_M + 180°). Dies geschieht im Mittel alle 205,9 Tage (etwas mehr als ein halbes Jahr, da die Apsidenlinie sich ja gleichzeitig prograd um 0,11140 Grad pro Tag bewegt).[22] Sie nimmt ein Minimum an, wenn die große Halbachse senkrecht zur Sonne steht (2D − 2G_M = ±180°).

Dieser Schwankung überlagern sich starke Schwankungen kürzerer Periode (mit Maxima bei 2D − G_M = 0° oder 360°, alle 31,8 Tage) sowie eine Vielzahl kleinerer Schwankungen.

Die Exzentrizität schwankt insgesamt zwischen den Extremwerten 0,026 und 0,077.[22]

Bewegung des aufsteigenden Knotens.

Die Knotenline steht nicht fix im Raum, sondern bewegt sich rückläufig entlang der Ekliptik. Die Knoten kommen daher dem Mond entgegen, weshalb ein drakonitischer Monat (die Rückkehr zum selben Knoten) kürzer ist als ein siderischer Monat (Rückkehr zum selben Fixstern).

Die mittlere Geschwindigkeit dieser Bewegung beträgt in Bezug auf den (selbst beweglichen) Frühlingspunkt 19,34° pro Jahr. Für einen vollständigen Umlauf braucht die Knotenlinie 18,6 Jahre (genauer 6798,38 Tage; ein Umlauf bezüglich der Fixsterne dauert 6793,48 Tage[22]).

Auch dieser Bewegung überlagern sich periodische Schwankungen. Der größte Schwankungsterm hat eine Amplitude von 1,4979° und eine Periode von 173,31 Tagen.[21] Diese Schwankung wurde von Tycho Brahe entdeckt.[23] Sie führt dazu, dass die Knotenlinie kurzzeitig beinahe stillsteht, wenn sie in Richtung Sonne zeigt.[22]

Je nach gegenseitiger Stellung der Knotenlinie der Mondbahn und der Knotenlinie des Äquators addieren oder subtrahieren sich die Neigungen der Mondbahn auf der Ekliptik und die Neigung der Ekliptik auf dem Äquator, so dass der Mond mit einer Periode von 18,6 Jahren abwechselnd einen Deklinationsbereich von ±28,6° oder nur ±18,4° überstreicht.

Diese Präzessionsbewegung der Mondbahn hat dieselbe Ursache wie die Präzessionsbewegung der Erdachse: die Anziehungskraft der Sonne versucht, die geneigte Mondbahn in die Ekliptikebene zu ziehen. Der auf dieser Bahn kreisende Mond reagiert wie ein Kreisel, der auf das äußere Drehmoment mit einem Verschwenken der Mondbahnachse reagiert.

Nähert sich der Mond beispielsweise dem absteigenden Bahnknoten, so bewirkt die zusätzliche, in Richtung der Ekliptikebene wirkende Störkraft, dass der Mond sich der Ekliptik schneller annähert, als es ohne Störkraft der Fall gewesen wäre. Der Mond durchstößt die Ekliptik daher früher und in einem steileren Winkel. Die Störkraft hat also die Knotenlinie dem Mond entgegengeschoben und die Bahnneigung vergrößert. Da die Knotenlinie jedes Mal in derselben Richtung verschoben wird, resultiert ein beständiger Umlauf der Knoten entlang der Ekliptik. Die kurzzeitig vergrößerte Bahnneigung hingegen wird nach Durchlaufen des Knotens wieder verringert. Die Störkraft vermindert nun die Geschwindigkeit, mit welcher der Mond sich von der Ekliptik entfernt, so dass seine Bahn wieder flacher wird. Die Bahnneigung erfährt daher nur eine regelmäßige Schwankung und ändert sich nicht wie die Knotenlinie beständig im selben Sinne.[24]

Schwankung der Bahnneigung.

Die Bahnneigung schwankt etwa ±0,15° um ihren Mittelwert. Die dominierende Schwankung hat eine Amplitude von 0,14° und eine Periode von 173,3 Tagen.[21]

Der Reihenentwicklung[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}i=5{,}15668983^{\circ }&+0{,}13507^{\circ }\cdot \cos(2D-2F)\\&\pm \dots \end{aligned}}}$

lässt sich entnehmen, dass die Neigung ein Maximum annimmt, wenn die Knotenlinie der Mondbahn in Richtung der Sonne zeigt (dann ist 2D − 2F = 0° oder 360°, also D = F oder F + 180°). Dies geschieht im Mittel alle 173,3 Tage (etwas weniger als ein halbes Jahr, da die Knotenlinie sich ja gleichzeitig retrograd um 0,05295 Grad pro Tag bewegt). Auch dieser Schwankung sind kleinere Schwankungen überlagert, welche in den Minima der Neigung ausgeprägter auftreten.[22]

Die Bahnneigung schwankt, weil die Anziehungskraft der Sonne versucht, den Neigungswinkel zu verringern, indem sie den Mond in die Ekliptikebene zieht. Die Wirkung der Sonne ist maximal, wenn der Öffnungswinkel zwischen Ekliptik und Mondbahn in Richtung Sonne zeigt, die Knotenlinie also quer zur Sonnenrichtung steht. Sie ist Null, wenn die Knotenlinie in Richtung der Sonne zeigt; dann nimmt die Neigung wieder größere Werte an.[13] Die Periode von 173,3 Tagen ist daher gerade ein halbes Finsternisjahr und die Bahnneigung ist stets dann maximal, wenn die Sonne in der Nähe eines Knotens steht, insbesondere also bei Finsternissen.

Die Schwankung der Bahnneigung wurde von Tycho Brahe entdeckt, der sie – nach bereits früher erfolgten Andeutungen – in einem Brief von 1599 erstmals definitiv beschrieb.[23]

Bewegung des Perigäums

Drehung der Apsidenlinie

Auch die Apsidenlinie steht nicht fix im Raum; sie bewegt sich rechtläufig entlang der Mondbahn. Die Apsiden bewegen sich daher in derselben Richtung wie der Mond, weshalb ein anomalistischer Monat (Rückkehr zur selben Apside) länger ist als ein siderischer Monat (Rückkehr zum selben Fixstern).

Die mittlere Geschwindigkeit der Apsidendrehung beträgt in Bezug auf den Frühlingspunkt 40,7 Grad pro Jahr. Für einen vollständigen Umlauf brauchen die Apsiden 8,85 Jahre (genauer 3231,50 Tage; ein Umlauf bezüglich der Fixsterne dauert 3232,61 Tage[22])

Die größten Terme der überlagerten Schwankungen haben eine Amplitude von 15,448° bei einer Periode von 31,81 Tagen bzw. 9,462° bei einer Periode von 205,9 Tagen.[21] Im Zuge dieser Schwankungen kann sich das Pergäum bis zu 30° von seiner mittleren Lage entfernen.[22]

Die periodischen Geschwindigkeits- und Abstandsänderungen des Mondes beim Durchlaufen seiner elliptischen Bahn werden durch die veränderlichen Tangential- und Zentripetalkomponenten der auf den Mond wirkenden Erdanziehungskraft bewirkt. Die Störungen verändern diese Kraftkomponenten. Insbesondere verstärken und schwächen sie abwechselnd die Zentripetalkräfte, wobei die Schwächung jedoch überwiegt, wie eine genauere Betrachtung zeigt. Die Beschleunigung des Mondes in Richtung Erde wird dadurch vermindert, und nach einem vom Perigäum ausgehenden Bahndurchlauf hat sich der Mond der Erde nicht wieder so weit genähert, wie es ohne Störungen der Fall gewesen wäre. Der Mond braucht ein wenig länger, um wieder ein Perigäum zu erreichen; das Perigäum und damit die gesamte Apsidenlinie hat sich also in Richtung der Mondbewegung entlang der Bahn verschoben.[24]

Soll die Position des Mondes entlang der Ekliptik (seine ekliptikale Länge λ) unter Berücksichtigung der Störeinflüsse berechnet werden, so liefert die moderne Störungstheorie einen umfangreichen Satz von Korrekturtermen, welcher – zur gleichförmig anwachsenden mittleren Länge L_M addiert – die korrekte Position ergibt. Die führenden Terme einer solchen Rechnung lauten:[25]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lambda =L_{M}&+6{,}289^{\circ }\cdot \sin(G_{M})&\quad &{\text{(Große Ungleichheit)}}&\quad &{\text{( 1)}}\\&-1{,}274^{\circ }\cdot \sin(G_{M}-2D)&&{\text{(Evektion)}}&&{\text{( 2)}}\\&+0{,}658^{\circ }\cdot \sin(2D)&&{\text{(Variation)}}&&{\text{( 3)}}\\&+0{,}214^{\circ }\cdot \sin(2G_{M})&&&&{\text{( 4)}}\\&-0{,}186^{\circ }\cdot \sin(G_{S})&&{\text{(Jährliche Gleichung)}}&&{\text{( 5)}}\\&-0{,}114^{\circ }\cdot \sin(2F_{M})&&{\text{(Reduktion auf die Ekliptik)}}&&{\text{( 6)}}\\&-0{,}059^{\circ }\cdot \sin(2G_{M}-2D)&&&&{\text{( 7)}}\\&-0{,}057^{\circ }\cdot \sin(G_{M}-2D+G_{S})&&&&{\text{( 8)}}\\&+0{,}053^{\circ }\cdot \sin(G_{M}+2D)&&&&{\text{( 9)}}\\&+0{,}046^{\circ }\cdot \sin(2D-G_{S})&&&&{\text{(10)}}\\&+0{,}041^{\circ }\cdot \sin(G_{M}-G_{S})&&&&{\text{(11)}}\\&-0{,}035^{\circ }\cdot \sin(D)&&{\text{(Parallaktische Gleichung)}}&&{\text{(12)}}\\&-0{,}031^{\circ }\cdot \sin(G_{M}+G_{S})&&&&{\text{(13)}}\\&-0{,}015^{\circ }\cdot \sin(2F_{M}-2D)&&&&{\text{(14)}}\\&\pm \dotsc &&&&\\&+{\text{säkulare Akzeleration}}&&&&\\\end{alignedat}}}$

Ähnliche Reihenentwicklungen gibt es auch für die ekliptikale Breite und den Bahnradius des Mondes.

Da der Mond schon sehr früh die Aufmerksamkeit der messenden und rechnenden Astronomie auf sich zog, sind einige der größten Störterme schon seit langer Zeit bekannt und haben sogar eigene Namen.

Bei diesem Term handelt es sich nicht um eine Störung im eigentlichen Sinne, sondern lediglich um die Berücksichtigung der infolge der Bahnelliptizität ungleichförmigen Geschwindigkeit. Der Mond läuft in Perigäumsnähe schneller und in Apogäumsnähe langsamer als im Mittel. Bei einer mittleren Anomalie G_M von ca. 90° oder 270° hat er daher jeweils seine maximale Abweichung von der mittleren Position erreicht.

Neben dem genannten führenden Term 6,289°·sinG_M finden sich in der Störungsreihe auch die restlichen Terme der Mittelpunktsgleichung

${\displaystyle \nu -G_{M}=\left(2e\cdot \sin(G_{M})+{\frac {5}{4}}e^{2}\cdot \sin(2G_{M})+\dotsc \right){\frac {180}{\pi }}}$

welche für eine Bahn der Exzentrizität e die Differenz zwischen wahrer Anomalie ν und mittlerer Anomalie G_M beschreibt (und damit eine Lösung des Keplerproblems darstellt). Term 4 der obigen Störungsreihe ist der nächstfolgende Term der Mittelpunktsgleichung. Die historisch gebräuchlichen Ausdrücke „Ungleichheit“ bzw. „Gleichung“ sind im Sinne von „Korrektur“ zu verstehen.

Insgesamt kann der Mond aufgrund der Mittelpunktsgleichung um ±6,2922°[12] von der Position eines fiktiven gleichmäßig laufenden Mondes abweichen. Diese erhebliche Abweichung war bereits den antiken Astronomen bekannt. Die Babylonier beschrieben sie durch arithmetische Reihen, die griechischen Astronomen durch einen geeignet gewählten Epizykel.

Die periodischen Störungen der Exzentrizität und der Lage des Perigäums verformen die Bahn[27] dergestalt, dass der Mond – der verformten Bahn folgend – abwechselnd der mittleren Position vorangeht oder nacheilt.

Stehen Sonne, Erde und Mond in einer Linie (S–E–M oder S–M–E, Vollmond oder Neumond) so zieht die Sonne im ersten Fall die Erde stärker an als den Mond und im zweiten Fall den Mond stärker als die Erde. In beiden Fällen wird dadurch der Abstand zwischen Erde und Mond vergrößert und – nach dem Dritten Keplerschen Gesetz – die Geschwindigkeit des Mondes vermindert. Stehen Erde und Mond so, dass ihre Verbindungslinie senkrecht zur Sonnenrichtung liegt (Erstes oder Letztes Viertel), so werden beide zwar gleich stark von der Sonne angezogen, aber die Richtungen, in die sie gezogen werden, sind nicht exakt parallel, sie konvergieren zur Sonne hin. Es resultiert daher eine Anziehungskomponente, welche Mond und Erde aneinander annähert, wodurch die Geschwindigkeit des Mondes – wiederum nach dem Dritten Keplerschen Gesetz – zunimmt.[28] Die größte Distanz zur ungestörten Position in der Bahn ist immer dann erreicht, wenn die eben beschriebene Geschwindigkeitsvariation das Vorzeichen wechselt und beginnt, im entgegengesetzten Sinne zu wirken. Dem eben beschriebenen Vorgang überlagert sich noch eine von der Exzentrizität der Mondbahn verursachte Geschwindigkeitsschwankung, so dass insgesamt ein komplizierter Verlauf der Störung resultiert.

In den Syzygien (2D = 0° oder 360°) reduziert der Störterm sich auf −1,274°·sin(G_M). Die Evektion fällt also negativ aus, wenn der Mond zu diesem Zeitpunkt zwischen Perigäum und Apogäum steht (0 < G_M < 180°) und positiv, wenn der Mond zwischen Apogäum und Perigäum steht (180° < G_M < 360°). In den Quadraturen (2D = ±180°) herrschen die umgekehrten Verhältnisse.[29]

In den Zwischenpositionen des Mondes ist der Verlauf der Evektion komplizierter, aber sie wird stets Null, wenn die Sonne sich in der Mitte zwischen dem Mond und dem Perigäum befindet (D = ½G_M), oder von diesem Punkt 90° oder 180° entfernt ist.[29] Ihre Maximalwerte von ±1,274° erreicht die Evektion mit einer Periode von 31,8 Tagen.[12]

Entdeckt wurde die Evektion von Ptolemäus, nachdem offenbar schon Hipparch Anzeichen für Abweichungen vom einfachen Epizykelmodell festgestellt hatte. Es gelang Ptolemäus, ein Muster in den gemessenen Abweichungen zu erkennen und durch Einführung eines Kurbelmechanismus auch in seine Epizykeltheorie aufzunehmen.[30]

Die Variation hängt nur von der Elongation D des Mondes ab, also von seinem Winkelabstand zur Sonne und damit indirekt von den Mondphasen. Sie verschwindet, wenn die Elongation 0°, 90°, 180° oder 270° beträgt, also bei Neumond, Vollmond und den beiden Halbmonden. Ihre Maximalwerte von ±0,658°[12] erreicht sie zwischen diesen Bahnpunkten, also in den so genannten Oktanten (45°, 135°, 225°, 315°). Sie variiert daher mit einer Periode von einem halben synodischen Monat.

Die Ursache der Variation liegt darin, dass in den Oktanten der Winkel, den die Verbindungslinie Erde–Mond zur Wirkungslinie von der Sonne zu Erde und Mond einnimmt, nicht wie bei der Evektion ein ganzzahliges Vielfaches von 90° ist, sondern eine ‚schräge‘ Komponente enthält, welche anstelle eines Annäherns oder Entfernens ein Vor- und Rückwärtsschieben des Mondes bezüglich seiner ungestörten Position bewirkt.[31]

Die Größe der Variation hätte den antiken Astronomen durchaus erlaubt, sie zu entdecken; die Griechen benutzten jedoch hauptsächlich Finsternisse für Bahnbestimmungen des Mondes, wo die Variation Null wird und nicht zu bemerken ist.[32] Sie wurde von Tycho Brahe entdeckt und erstmals 1595 in einem Brief an Hagecius erwähnt.[33]

Die Jährliche Gleichung führt dazu, dass sich der Mond etwas langsamer bewegt, wenn das Erde-Mond-System sich in Sonnennähe befindet (in der perihel-seitigen Hälfte der Erdbahn, gegenwärtig also im Winter) und etwas schneller in der aphel-seitigen Hälfte (also während des Sommers). Sie unterliegt einer Periode von einem anomalistischen Jahr und erreicht Maximalwerte von ±0,1864°.[12]

Die Jährliche Gleichung wird durch die Exzentrizität der Erdbahn verursacht. Befindet sich das Erde-Mond-System in Sonnenferne, so ist die Anziehungskraft der Sonne im Verhältnis zur Anziehungskraft der Erde etwas geringer, und der Mond wird weniger weit durch die Sonne von der Erde weggezerrt. Er ist in dieser Situation der Erde also etwas näher und läuft daher schneller. Im Perihel dagegen wirkt die Anziehungskraft der Sonne stärker, der Mond wird weiter von der Erde weggezerrt und bewegt sich langsamer. Im Herbst läuft der Mond also seiner mittleren Position etwas voraus, im Frühling bleibt er etwas zurück. Damit ist auch eine Schwankung der Umlaufzeiten von ±10 Minuten verbunden.[13]

Entdeckt wurde die Jährliche Gleichung unabhängig voneinander durch Kepler und Brahe.[34]

Die Reduktion auf die Ekliptik ist wiederum keine Störung im eigentlichen Sinne. Sie dient der Berücksichtigung des Umstands, dass die Ebene, in der sich der Mond bewegt und entlang welcher daher die Bahnkoordinate gezählt wird, gegen die Ekliptikebene geneigt ist, entlang welcher die ekliptikale Länge gezählt wird. Die deshalb erforderliche Umrechnung der Bahnkoordinate in die Ekliptikkoordinate kann durch eine Koordinatentransformation oder – wie hier – durch eine Reihenentwicklung geschehen.

Die Größe der Reduktion hängt vom gegenseitigen Abstand der beiden zueinander verkippten Koordinatenebenen am Ort des Mondes ab und somit von dem entlang der Bahn gezählten Abstand F_M des Mondes vom aufsteigenden Bahnknoten. Die Reduktion auf die Ekliptik wird Null in den Bahnknoten und in der Mitte zwischen den Knoten (bei F_M = 90° und 270°). Bei F_M = 45°, 135°, 225° und 315° wird sie maximal. Sie variiert also mit einer Periode von einem halben drakonitischen Monat.

Ptolemäus kannte diesen Term, vernachlässigte ihn jedoch wegen seiner Kleinheit.[35]

Die Parallaktische Gleichung nimmt Maximalbeträge von ±0,0356° an und hat eine Periode von einem synodischen Monat.[12]

Sie kommt ähnlich zustande wie die Jährliche Gleichung. Der Neumond befindet sich näher an der Sonne als der Vollmond. Er wird daher durch die Sonne stärker von der Erde fortgezerrt und läuft wegen seiner größeren Entfernung langsamer als der Vollmond. Die deshalb langsam akkumulierende Abweichung von der ungestörten Position ist in den Halbmondphasen am größten.[13]

Der Name dieser Störung stammt daher, dass sie vom Verhältnis der Entfernung Erde–Mond zur Entfernung Erde–Sonne abhängt und es daher erlaubt, aus einer genauen Untersuchung der Mondbewegung die Entfernung und damit die Parallaxe der Sonne zu bestimmen.[13] Da nämlich die anderen Störungen primär von der Gravitationskraft der Sonne abhängen, d. h. einerseits von deren Entfernung, andererseits aber auch von deren Masse, lässt sich aus ihnen ohne unabhängige Bestimmung der Sonnenmasse nicht auf die Entfernung schließen. Die parallaktische Gleichung hingegen hängt nur von den Entfernungen und nicht von der Sonnenmasse ab.[36]

Neben den aufgeführten periodischen Störungen unterliegt der Mond auch nichtperiodischen („säkularen“) Störungen, welche über die Jahrtausende hinweg zu einer (positiven oder negativen) Beschleunigung des Mondlaufs führen.

Die „gravitative Akzeleration“ wird dadurch bewirkt, dass die Exzentrizität der Erdbahn gegenwärtig abnimmt. Dadurch wird der Gravitationseinfluss der Sonne auf den Mond im Mittel geringer, was – wie schon bei der Jährlichen und der Parallaktischen Gleichung – zu einer geringfügig schnelleren Bewegung des Mondes führt. Diese Beschleunigung beträgt 6″/Jhdt², so dass nach t Jahrhunderten ein Betrag von 6″·t² zur Länge des Mondes zu addieren ist.[37]

In entgegengesetzte Richtung wirkt die „gezeitenbedingte Akzeleration“. Die vom Mond auf den Erdozeanen aufgetürmten Gezeitenwellen werden von der Erdrotation seitlich versetzt, so dass sie nicht exakt in der Verbindungslinie Erde-Mond liegen und ihrerseits ein Drehmoment auf den Mond ausüben. Dieses Drehmoment führt dem Mond Drehimpuls und Energie zu, so dass er auf eine höhere, energiereichere Bahn gehoben wird, welcher aber nach dem Dritten Keplerschen Gesetz eine geringere Umlaufgeschwindigkeit entspricht. Diese Abbremsung beträgt etwa −26″/Jhdt², so dass nach t Jahrhunderten ein Betrag von ½·26·t² von der Länge des Mondes abzuziehen ist. Dass hier im Gegensatz zur gravitativen Akzeleration ein Faktor ½ auftaucht, ist lediglich auf entsprechende Konventionen zurückzuführen.[37] Infolge der gezeitenbedingten Anhebung seiner Bahn entfernt sich der Mond pro Jahr um 3,8 cm von der Erde.[7]