Annihilator (Mathematik)

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum, ${\displaystyle V^{*}}$ der zugehörige Dualraum und ${\displaystyle S}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle V}$. Dann heißt

${\displaystyle S^{0}=\lbrace f\in V^{*}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in S\rbrace \subseteq V^{*}}$

der Annullator von ${\displaystyle S}$.

• ${\displaystyle S^{0}}$ ist ein Untervektorraum des Dualraums ${\displaystyle V^{*}}$. Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
• ${\displaystyle S^{0}=\langle S\rangle ^{0}}$, wobei ${\displaystyle \langle S\rangle }$ der von ${\displaystyle S}$ erzeugte Unterraum ist.
• Ist ${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}$, so ist ${\displaystyle S_{1}^{0}\supseteq S_{2}^{0}}$.
• Ist ${\displaystyle V}$ endlichdimensional und ${\displaystyle U}$ ein Unterraum von ${\displaystyle V}$, so gilt ${\displaystyle \dim U^{0}=\dim V-\dim U}$. In diesem Fall sind ${\displaystyle V}$ und der Bidualraum ${\displaystyle V^{**}}$ kanonisch isomorph und es gilt ${\displaystyle \left(U^{0}\right)^{0}=U}$, wobei ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle V^{**}}$ miteinander identifiziert worden sind.