Analytisches Signal

Übertragungsfunktion, durch die ein analytisches Signal gebildet wird.

Ist x(t) ein reelles Zeitsignal mit seiner Fourier-Transformierten X(jω), dann kann daraus ein Spektrum X_a(jω) mit rein positiven Frequenzen gewonnen werden, indem eine Multiplikation mit der Sprungfunktion σ(ω) erfolgt.

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{a}(\mathrm {j} \omega )&=X(\mathrm {j} \omega )\cdot 2\sigma _{\frac {1}{2}}(\omega )\\&=X(\mathrm {j} \omega )+X(\mathrm {j} \omega )\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet ω die Kreisfrequenz und j die imaginäre Einheit. Die inverse Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ erfolgt nach der Konvention der unsymmetrischen Normierung. Im Weiteren zeigt sich die Bildungsvorschrift für das analytische Zeitsignal x_a(t) aus dem Zeitsignal x(t).

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{a}(t)&=x(t)+\mathrm {j} \,x(t)\ast {\frac {1}{\pi t}}\\&=x(t)+\mathrm {j} \,{\mathcal {H}}\{x(t)\}\\&=x(t)+\mathrm {j} \,{\hat {x}}(t)\\\end{aligned}}}$

Dabei stellen ${\displaystyle \ast }$ die Faltungsoperation und ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ die Hilbert-Transformation dar. Bei einem analytischen Signal trägt der Imaginärteil in Bezug zu dem Realteil keinen zusätzlichen Informationsgehalt.

Beispiel

Das reelle Zeitsignal x(t), bestehend aus einer Cosinusschwingung, besitzt das analytische Signal x_a(t). Durch die Fourier-Transformation der eulerschen Identität zeigt sich, dass x_a(t) ein einseitiges Spektrum ohne negative Frequenzen besitzt.

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(t)=\cos(\omega _{0}t)&\Rightarrow \quad &x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+\mathrm {j} \,\sin(\omega _{0}t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega _{0}t},\quad \forall t\omega _{0}\geq 0\\&\Downarrow &&\Downarrow \\&X(\mathrm {j} \omega )={\frac {\delta (\omega +\omega _{0})}{2}}+{\frac {\delta (\omega -\omega _{0})}{2}}&&X_{a}(\mathrm {j} \omega )=\delta (\omega -\omega _{0})\\\end{aligned}}}$

Ein moduliertes Signal m(t) in blau und der Betragsverlauf A(t) des zugehörigen analytischen Signals

Wie jede komplexe Zahl kann das analytische Signal auch in komplexer Polardarstellung ausgedrückt werden.

${\displaystyle x_{\mathrm {a} }(t)={\underline {\gamma }}(t)=A(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi (t)}\,}$

Dabei wird γ(t) als die komplexe Einhüllende, A(t) als die Betragseinhüllende und φ(t) als die Momentanphase bezeichnet.

${\displaystyle A(t)=|x_{\mathrm {a} }(t)|={\sqrt {x^{2}(t)+{\hat {x}}^{2}(t)}}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\arg \left\{x_{\mathrm {a} }(t)\right\}}$

System mit polarem Modulator

Von Bedeutung ist diese Darstellung in der Nachrichtentechnik, da sich damit ein polarer Modulator ansteuern lässt, wohingegen sich der Real- und Imaginärteil zum Ansteuern eines kartesischen Modulators (IQ-Modulator) eignet. Durch das Zusammenspiel mit einem entsprechend konstruierten Leistungsverstärker (englisch Power Amplifier abgekürzt PA), hat das erstgenannte System einen besseren Wirkungsgrad.

Ein moduliertes Signal m(t) wird dabei aus der Trägerfrequenz ${\displaystyle \Omega _{T}}$ und der komplexen Einhüllenden entsprechend der folgenden Gleichung erzeugt.

${\displaystyle m(t)=\Re \left({\underline {\gamma }}(t)\cdot \mathrm {e} ^{j\Omega _{T}t}\right)=A(t)\cdot \cos(\Omega _{T}t+\varphi (t))}$

Modulation und Demodulation eines komplexen Signals

Durch Multiplikation lässt sich auf die Trägerfrequenz ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ein komplexes Signal ${\displaystyle {\underline {g}}(t)}$ aufprägen, wodurch das komplexe modulierte Signal ${\displaystyle {\underline {m}}(t)}$ entsteht. Die Demodulation erfolgt durch Multiplikation mit einem komplexen Zeiger der in entgegengesetzter Richtung rotiert.

${\displaystyle {\underline {m}}(t)={\underline {g}}(t)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \Omega _{T}t}}$

${\displaystyle {\underline {g}}(t)={\underline {m}}(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \Omega _{T}t}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \Omega _{T}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \Omega _{T}t}=1}$

Der Realteil und der Imaginärteil erfordern jeweils einen eigenen Übertragungspfad. In der Praxis wird oft darauf verzichtet. Durch Rechnung zeigt sich, dass es sich beim modulierten Signal ${\displaystyle {\underline {m}}(t)}$ um ein analytisches Signal handelt, also der Imaginärteil redundant zum Realteil vorliegt, womit auch nur einer von beiden übertragen werden muss.

${\displaystyle {\underline {m}}(t)=\left[\Re ({\underline {g}}(t))+\mathrm {j} \Im ({\underline {g}}(t))\right]\ \cdot \ \left[\cos(\Omega _{T}t)+\mathrm {j} \sin(\Omega _{T}t)\right]}$

Vorausgesetzt bei x(t) handelt es sich um ein bandbegrenztes Signal, dessen Frequenzanteile oberhalb von ${\displaystyle \omega _{0}}$ eine Amplitude von null aufweisen, dann gilt folgende Hilbert-Transformation:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x(t)\cdot \cos(\omega _{0}t)\}=x(t)\cdot \sin(\omega _{0}t)}$

${\displaystyle {\underline {m}}(t)=m(t)+\mathrm {j} {\mathcal {H}}\{m(t)\}}$

Der Imaginärteil lässt sich Empfängerseitig durch die Hilbert-Transformation regenerieren.

${\displaystyle m(t)=\Re \left({\underline {g}}(t)\right)\cdot \cos(\Omega _{T}t)-\Im \left({\underline {g}}(t)\right)\cdot \sin(\Omega _{T}t)}$

${\displaystyle {\underline {g}}(t)=\left[m(t)+\mathrm {j} {\mathcal {H}}\{m(t)\}\right]\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \Omega _{T}t}}$

Neben dem gezeigten Verfahren existieren weitere Möglichkeiten zum Erzeugen und Auflösen des gleichen modulierten Signals.

• Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. 6. Auflage. Teubner, 2006, ISBN 3-8351-0072-6.

• Analytic Signals and Hilbert Transform Filters (engl.)