Analytische Menge

Eine Teilmenge ${\displaystyle A}$ eines polnischen Raums ${\displaystyle X}$ heißt analytisch, falls es einen polnischen Raum ${\displaystyle Z}$ und eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon Z\rightarrow X}$ gibt mit ${\displaystyle f(Z)=A}$. Kurz: Analytische Mengen sind stetige Bilder polnischer Räume.[1]

Auch die leere Menge soll analytisch sein. Daher muss man entweder die leere Menge als polnischen Raum zulassen oder die leere Menge explizit hinzunehmen.

• Abzählbare Vereinigungen und abzählbare Durchschnitte analytischer Mengen sind wieder analytisch.

• Komplemente analytischer Mengen sind im Allgemeinen nicht wieder analytisch.

• In einem polnischen Raum ist jede Borelmenge analytisch, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

• Analytische Mengen haben die Baire-Eigenschaft.

• Jede analytische Menge ist Lebesgue-messbar.

Analytische Mengen lassen sich wie folgt als Projektionen von Borelmengen charakterisieren. Für zwei Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Z}$ sei ${\displaystyle \pi _{2}\colon Z\times X\rightarrow X}$ die Projektion auf die zweite Komponente. Für eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset X}$ eines polnischen Raums sind dann folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle A}$ ist analytisch.
2. Es gibt einen polnischen Raum ${\displaystyle Z}$ und eine abgeschlossene Menge ${\displaystyle C\subset Z\times X}$ mit ${\displaystyle A=\pi _{2}(C)}$.
3. Es gibt einen polnischen Raum ${\displaystyle Z}$ und eine Borel-Menge ${\displaystyle B\subset Z\times X}$ mit ${\displaystyle A=\pi _{2}(B)}$.

Zum Beweis genügt es den Fall zu betrachten, dass ${\displaystyle A\subset X}$ nicht leer ist. Ist ${\displaystyle A}$ analytisch, so ist definitionsgemäß ${\displaystyle A=f(Z)}$ für eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon Z\rightarrow X}$ auf einem polnischen Raum ${\displaystyle Z}$. Dann ist der Graph ${\displaystyle G(f)\subset Z\times X}$ abgeschlossen und ${\displaystyle \pi _{2}(G(f))=f(Z)=A}$, womit der Schluss von 1. nach 2. gezeigt wäre. Da abgeschlossene Mengen Borelmengen sind, folgt 3. aus 2. Liegt schließlich 3. vor, so gibt es einen polnischen Raum ${\displaystyle Y}$ und eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow Z\times X}$ mit ${\displaystyle B=f(Y)}$, denn Borelmengen sind analytisch. Dann ist ${\displaystyle A=(\pi _{2}\circ f)(Y)}$ stetiges Bild eines polnischen Raums und daher analytisch.

Der folgende Trennungssatz für analytische Mengen geht auf N. N. Lusin zurück[2]:

• Es seien ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum und ${\displaystyle A_{1},\,A_{2}\subset X}$ zwei disjunkte analytische Mengen. Dann gibt es zwei disjunkte Borelmengen ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\subset X}$ mit ${\displaystyle A_{1}\subset B_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}\subset B_{2}}$.[3]

Folgerung: Eine analytische Menge ${\displaystyle A\subset X}$ ist genau dann eine Borelmenge, wenn auch das Komplement ${\displaystyle X\setminus A}$ analytisch ist.

Zum Beweis der Folgerung sei zunächst ${\displaystyle A}$ Borelmenge. Dann ist auch ${\displaystyle X\setminus A}$ Borelmenge und daher analytisch. Ist umgekehrt ${\displaystyle X\setminus A}$ analytisch, so wende obigen Trennungssatz auf ${\displaystyle A_{1}=A}$ und ${\displaystyle A_{2}=X\setminus A}$ an. Wegen der Disjunktheit muss dann ${\displaystyle A_{1}=B_{1}}$ sein, das heißt ${\displaystyle A}$ ist eine Borelmenge.

Ein spezieller polnischer Raum ist der Baire-Raum ${\displaystyle {\mathcal {N}}:=\mathbb {N} ^{\infty }}$ mit der Produkttopologie. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist der Raum aller Folgen ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{k})_{k}}$ natürlicher Zahlen, die Topologie wird zum Beispiel von der durch ${\displaystyle d({\vec {n}},{\vec {m}}):=2^{-n({\vec {n}},{\vec {m}})}}$ definierten vollständigen Metrik erzeugt, wobei ${\displaystyle n({\vec {n}},{\vec {m}})}$ der kleinste Index ist, an dem sich die beiden Folgen unterscheiden. Man kann zeigen, dass jeder (nicht-leere) polnische Raum ein stetiges Bild von ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist. Aus der Definition der analytischen Menge ergibt sich daher unmittelbar:

• Eine nicht-leere Teilmenge ${\displaystyle A}$ eines polnischen Raums ${\displaystyle X}$ ist genau dann analytisch, wenn eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {N}}\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle f({\mathcal {N}})=A}$ gibt.

Mittels des Raumes ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ kann man alle analytischen Mengen eines polnischen Raums als Projektion einer festen analytischen Menge erhalten. Es gilt folgender Satz[4]:

• Sei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum. Dann gibt es eine analytische Teilmenge ${\displaystyle A\subset {\mathcal {N}}\times X}$ so dass

${\displaystyle \{x\in X;\,({\vec {n}},x)\in A\},\quad {\vec {n}}\in {\mathcal {N}}}$

genau die analytischen Mengen von ${\displaystyle X}$ durchläuft.

Wendet man diesen Satz auf ${\displaystyle X={\mathcal {N}}}$ an, so kann man zeigen, dass ${\displaystyle \{{\vec {n}};\,({\vec {n}},{\vec {n}})\in A\}}$ eine analytische Menge in ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist, die keine Borelmenge ist.

Im Falle des Baire-Raums lässt sich jede analytische Menge bereits als Projektion einer abgeschlossenen Menge im ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{2}}$ darstellen, im Falle der reellen Zahlen und des Cantor-Raums reichen Projektionen abzählbarer Schnitte offener Mengen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$.[5]

Eine Teilmenge ${\displaystyle T}$ eines Messraums ${\displaystyle (X,{\mathcal {X}})}$ heißt universell messbar, wenn es zu jedem endlichen Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {X}})}$ Mengen ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {X}}}$ gibt mit ${\displaystyle B_{1}\subset T\subset B_{2}}$ und ${\displaystyle \mu (B_{2}\setminus B_{1})=0}$. Jede Menge aus ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ist universell messbar, denn in diesem Fall kann man ${\displaystyle B_{1}=T=B_{2}}$ wählen. Offenbar bildet die Menge aller universell messbaren Mengen eine σ-Algebra, die nach dem gerade Gesagten die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ umfasst.

Polnische Räume sind in natürlicher Weise Messräume, indem man sie mit der σ-Algebra der Borelmengen versieht, und bezüglich dieses Messraums ist universelle Messbarkeit in polnischen Räumen zu verstehen. Dann gilt:[6]

• Jede analytische Menge eines polnischen Raums ist universell messbar.

Insbesondere ist also jede analytische Menge Lebesgue-messbar. Da es analytische Mengen gibt, die keine Borelmengen sind, ist die σ-Algebra der universell messbaren Mengen im Allgemeinen echt größer als die σ-Algebra der Borelmengen.

Ist ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine surjektive Abbildung, so nennt man eine Abbildung ${\displaystyle g\colon Y\rightarrow X}$ einen Schnitt von ${\displaystyle f}$, falls ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}}$. Die Existenz einer solchen Abbildung folgt leicht aus dem Auswahlaxiom, indem man mittels Surjektivität zu jedem ${\displaystyle y\in Y}$ ein Urbild ${\displaystyle x_{y}\in f^{-1}(\{y\})}$ wählt und ${\displaystyle g(y)=x_{y}}$ setzt. Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Messräume und ist ${\displaystyle f}$ messbar, so stellt sich die Frage, ob man einen messbaren Schnitt ${\displaystyle g}$ finden kann.

Zur Untersuchung dieser Frage nennen wir einen Messraum ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$ abzählbar separiert, falls es eine Folge ${\displaystyle (E_{n})_{n}}$ von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ gibt, so dass zu je zwei verschiedenen Punkten aus ${\displaystyle Y}$ stets ein ${\displaystyle E_{n}}$ gefunden werden kann, dass genau einen der beiden Punkte enthält. Man nennt ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$ einen analytischen Borelraum, falls er als Messraum isomorph zu einem Messraum ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}$ ist, wobei ${\displaystyle A}$ eine analytische Teilmenge eines polnischen Raums ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die σ-Algebra der Durchschnitte der Borelmengen von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle A}$ ist. Mit diesen Begriffen gilt folgender Satz:[7]

• Es seien ${\displaystyle (X,{\mathcal {X}})}$ ein analytischer Borelraum, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$ ein abzählbar separierter Messraum und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine messbare Abbildung. Dann gibt es einen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-${\displaystyle {\mathcal {X}}}$-messbaren Schnitt von ${\displaystyle f}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ die σ-Algebra der bezüglich ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$ universell messbaren Mengen sei.

Derartige Sätze spielen eine entscheidende Rolle in der Struktur- und Darstellungstheorie von Typ-I-C*-Algebren, wie im unten angegebenen Lehrbuch von W. Arveson ausgeführt wird[8], oder in der Disintegration von Von-Neumann-Algebren, wie sie etwa in[9] zu finden ist.

H. Lebesgue war in einer Veröffentlichung aus dem Jahre 1905 fälschlicherweise der Meinung, gezeigt zu haben, dass die Projektion einer Borelmenge der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ auf die ${\displaystyle x}$-Achse wieder eine Borelmenge sei. M. J. Suslin hatte 1917 den darin enthaltenen Fehler aufgedeckt, die analytischen Mengen eingeführt und gezeigt, dass es analytische Mengen gibt, die keine Borelmengen sind.[10]

• Projektive Hierarchie – die analytischen (und koanalytischen) Mengen bilden die erste Stufe der projektiven Hierarchie.

1. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 8.2.
2. Kazimierz Kuratowski: Topology. Band 1. New edition, revised and augmented. Academic Press, New York u. a. 1966, ISBN 0-1242-9201-1, S. 485.
3. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 8.3.1.
4. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 8.2.16.
5. Donald A. Martin, Descriptive Set Theory: Projektive Sets. In: Jon Barwise (Hrsg.): Handbook of Mathematical Logic (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 90). North-Holland, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2285-X, S. 783–815, hier S. 790, doi:10.1016/S0049-237X(08)71121-2.
6. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Korollar 8.4.3
7. William Arveson: Invitation to C*-algebras (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 39). Springer, New York NY u. a. 1976, ISBN 0-387-90176-0, Theorem 3.4.3.
8. William Arveson: Invitation to C*-algebras (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 39). Springer, New York NY u. a. 1976, ISBN 0-387-90176-0, Kapitel 4
9. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= L.M.S. Monographs. Bd. 14). Academic Press Inc., London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Kapitel 4.
10. Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Bd. 74). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-00754-2, S. 500.