Alhazensches Problem

Gegeben seien zwei Punkte ${\displaystyle A}$ als Lichtquelle und ${\displaystyle B}$ Detektor, etwa als beobachtendes Auge, und eine spiegelnde Kugeloberfläche, die die Verbindungsstrecke von ${\displaystyle [AB]}$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ nicht schneidet. Auf welchen Punkt ${\displaystyle P}$ der Kugeloberfläche muss ein von ${\displaystyle A}$ ausgehender Lichtstrahl treffen, damit er in den Punkt ${\displaystyle B}$ reflektiert wird?[1]

Dies wird zu einem ebenen, geometrischen Problem, wenn man sich in eine Ebene begibt, die die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und den Kugelmittelpunkt enthält. Gegeben sind zwei Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und ein Kreis, der die Verbindungsstrecke von ${\displaystyle [AB]}$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ nicht schneidet. Für welchen Punkt ${\displaystyle P}$ der Kreislinie schließen die Geraden ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ denselben Winkel mit der Tangente durch ${\displaystyle P}$ ein?

Man unterscheidet ein äußeres und ein inneres Problem, je nachdem, ob die beiden Punkte innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen. Beim inneren Problem spricht man auch vom Alhazenschen Billard Problem (man stelle sich einen kreisförmig begrenzten Billardtisch vor). Man kann das Problem dann auch so formulieren, dass man das gleichschenklige Dreieck sucht, dessen Umkreis der gegebene Kreis ist und dessen Schenkel durch die beiden gegebenen Punkte verlaufen.[2] Dies ist äquivalent zu folgendem Problem. Finde für zwei vorgegebene Punkte innerhalb eines Kreises die maximale Ellipse, die diese Punkte als Brennpunkte hat und noch innerhalb des Kreises liegt. Ein Berührpunkt aus Kreis und Ellipse ist dann die gesuchte Lösung.[3]

Eine weitere äquivalente geometrische Umformulierung für das äußere Problem fragt zu einem gegebenen Kreis und zwei außerhalb gelegenen Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, deren Verbindungsstrecke die Kreislinie nicht schneidet, nach dem Punkt ${\displaystyle P}$ der Kreislinie, so dass die Summe ${\displaystyle [AP]+[PB]}$ der Streckenlängen ${\displaystyle [AP]}$ und ${\displaystyle [PB]}$ minimal wird.[4]

Skizze zur geometrischen Lösung des Alhazenschen Problems.

Dieses bereits auf Claudius Ptolemäus zurückgehende Problem wurde von Alhazen im 11. Jahrhundert gelöst und im fünften und sechsten Buch seines Werks Kitab al-Manazir beschrieben. Diese Lösung gilt als sehr kompliziert. Christian Huygens und René Sluze haben im 17. Jahrhundert die Konstruktion im Rahmen einer längeren Korrespondenz wesentlich vereinfacht. Das Ergebnis dieser Arbeit besteht in der Konstruktion eines Paares sich im rechten Winkel schneidender Geraden, zu denen Hyperbeln mit diesen Geraden als Asymptoten konstruiert werden. Deren Schnittpunkte mit der Kreislinie (des vorgegebenen reflektierenden Spiegels) ergeben dann den gesuchten Reflexionspunkt. Die in der erwähnten Korrespondenz erreichte schrittweise Vereinfachung und weitere historische Angaben finden sich im unten angegebenen Artikel Alhazens Spiegelproblem.[5]

Ohne Einschränkung betrachten wir den Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {D} }$ mit der begrenzenden Kreislinie ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$. Die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ werden in der komplexen Ebene durch komplexe Zahlen ${\displaystyle z_{A}}$ und ${\displaystyle z_{B}}$ dargestellt. Dann gilt:

Das Polynom vierten Grades

${\displaystyle {\overline {z_{A}z_{B}}}\cdot u^{4}-({\overline {z_{A}}}+{\overline {z_{B}}})\cdot u^{3}+(z_{A}+z_{B})\cdot u-z_{A}z_{B}}$

hat Nullstellen ${\displaystyle u\in \partial \mathbb {D} }$. Unter diesen ist diejenige mit minimalem Wert ${\displaystyle |z_{A}-u|+|z_{B}-u|}$ der gesuchte Lösungspunkt.[6]

Damit ist das Problem auf die Lösung einer Gleichung vierten Grades zurückgeführt. Das ist bekanntlich algebraisch lösbar.

Skizze zum Beispiel.

In der geometrischen Betrachtungsweise interessiert die Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Jack M. Elkin hat gezeigt, dass dies im Allgemeinen nicht möglich ist.[7] Als Beispiel betrachte man die Punkte ${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ und ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ im Einheitskreis. Die obige algebraische Lösung führt nach Multiplikation mit dem Hauptnenner auf die Polynomgleichung

${\displaystyle u^{4}-(2+4\mathrm {i} )u^{3}+(2-4\mathrm {i} )u-1=0}$.

Numerisch findet man zwei Lösungen auf dem Einheitskreis (auf vier Nachkommastellen gerundet):

${\displaystyle z_{1}=-0,6323+0,7747\,\mathrm {i} }$ und ${\displaystyle z_{2}=0,3213-0,9470\,\mathrm {i} }$

Zum Nachweis der Nichtkonstruierbarkeit des Realteils von ${\displaystyle z_{1}}$ setze ${\displaystyle u=x+y\,\mathrm {i} }$ ins Polynom ein, multipliziere aus, extrahiere den Imaginärteil und ordne nach geraden und ungeraden Potenzen von ${\displaystyle y}$. Man erhält

${\displaystyle y\cdot (2y^{2}-4xy^{2}+4x^{3}-6x^{2}+2)=4x^{3}-12xy^{2}+4x}$.

Quadriert man beide Seiten, so hat man nur noch gerade Potenzen von ${\displaystyle y}$. Ersetzt man darin ${\displaystyle y^{2}}$ durch ${\displaystyle 1-x^{2}}$ (denn unsere komplexe Nullstelle liegt ja auf dem Einheitskreis) und bringt wieder alles auf eine Seite, so erhält man ein Polynom achten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zur Bestimmung von ${\displaystyle x}$. Zerlegt man dieses in irreduzible Faktoren (etwa mit dem Kronecker-Verfahren), so erhält man einen Faktor

${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$,

der als einziger für eine Nullstelle ${\displaystyle x_{1}=\mathrm {Re} \,z_{1}}$ in Frage kommt. Nach dem Lemma von Gauß ist dieses Polynom auch über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreduzibel, ist also gleich dem Minimalpolynom von ${\displaystyle x_{1}=\mathrm {Re} \,z_{1}}$. Die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} (x_{1})}$ hat damit den Grad ${\displaystyle 4=2^{2}}$. Es erfüllt zwar die notwendige Bedingung für eine konstruierbare Zahl, diese ist aber nicht hinreichend, den ${\displaystyle x_{1}}$ muss in einem Körperturm aus Körpererweiterungen vom Grad 2 liegen. Man kann zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Daher ist das Alhazensche Problem im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal lösbar.[8]

1. Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt. In: Springer Spektrum. 2017, ISBN 3-662-55351-1, 2.5 Geometrie in mittelalterlichen moslemischen Ländern, S. 77.
2. Eric W. Weisstein: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. 2. Auflage. Chapman & Hall, 12. Dezember 2002, S. 54, Alhazen's Billard Problem.
3. Masayo Fujimura, Parisa Hariri, Marcelina Mocanu, Matti Vuorinen: The Ptolemy–Alhazen Problem and Spherical Mirror Reflection. In: Comput. Methods Funct. Theory. Band 19. Springer, 2019, S. 135–155, doi:10.1007/s40315-018-0257-z.
4. Roger C. Alperin: Mathematical Origami: Another View of Alhazen's Optical Problem. In: Thomas Hull (Hrsg.): Origami³. Taylor & Francis Ltd, 15. November 2017, S. 86.
5. J. A. Lohne: Alhazens Spiegelproblem. In: Nordisk Matematisk Tidskrift. Band 8, 1970, S. 5–35, JSTOR:24524859.
6. Masayo Fujimura, Parisa Hariri, Marcelina Mocanu, Matti Vuorinen: The Ptolemy–Alhazen Problem and Spherical Mirror Reflection. In: Comput. Methods Funct. Theory. Band 19. Springer, 2019, S. 135–155, Theorem 1.1, doi:10.1007/s40315-018-0257-z.
7. Jack M. Elkin: A deceptively easy problem. In: The Mathematics Teacher. Band 58, Nr. 3, März 1965, S. 194–199, JSTOR:27968003.
8. Peter M. Neumann: Reflections on Reflection in a Spherical Mirror. In: The American Mathematical Monthly. Band 105, Nr. 6, 1998, S. 523–528, JSTOR:2589403.