Algebraische Menge

Sei ${\displaystyle k}$ ein Körper, und seien ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}}$ Elemente des Polynomrings ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten. Die Verschwindungsmenge ${\displaystyle V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})}$ dieser Polynome ist dann die Teilmenge von ${\displaystyle k^{n}}$ gegeben durch

${\displaystyle V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})=\{P\in k^{n}\mid f_{1}(P)=f_{2}(P)=\cdots =f_{s}(P)=0\}\,.}$

Eine Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq k^{n}}$ heißt affine algebraische Menge, wenn es Polynome ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}}$ gibt derart, dass ${\displaystyle V=V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})}$ gilt.[4]

Zum Beispiel ist die Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ die algebraische Menge ${\displaystyle V(Y-X^{2})\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle T}$ eine Menge von Polynomen aus ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$, so setzt man ${\displaystyle V(T)=\{P\in k^{n}\mid \forall \,f\in T:f(P)=0\}}$. Nun sei ${\displaystyle I\trianglelefteq k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$ das durch ${\displaystyle T}$ erzeugte Ideal. Man zeigt dann, dass ${\displaystyle V(T)=V(I)}$ gilt. Nach dem Hilbertschen Basissatz ist wiederum das Ideal ${\displaystyle I}$ durch endlich viele Polynome ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{t}\in k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$ erzeugt. Somit gilt ${\displaystyle V(T)=V(I)=V(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{t})}$. Das heißt, jede algebraische Menge lässt sich durch endlich viele Polynome beschreiben.

Eine algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn sie sich nicht in einfachere Teile zerlegen lässt. Genauer ist eine algebraische Menge ${\displaystyle V}$ irreduzibel, wenn ${\displaystyle V}$ nicht leer ist und für jedes Paar algebraischer Mengen ${\displaystyle U,W\subset V}$ mit

${\displaystyle U\cup W=V}$

gilt, dass ${\displaystyle U=V}$ oder ${\displaystyle W=V}$ ist.

Mit anderen Worten: ${\displaystyle V}$ ist eine irreduzible algebraische Menge, wenn ${\displaystyle V}$ irreduzibel bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle V(XY)\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ die Vereinigung der ${\displaystyle x}$-Achse ${\displaystyle V(Y)}$ und der ${\displaystyle y}$-Achse ${\displaystyle V(X)}$. Somit ist ${\displaystyle XY}$ reduzibel.

Ist ${\displaystyle V\subset k^{n}}$ eine algebraische Menge, so ist ihr Verschwindeideal definiert als

${\displaystyle I(V):=\{f(X_{1},\ldots ,X_{n})\in k\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\mid \forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in V:f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=0\}}$.

${\displaystyle I(V)}$ ist ein Radikal-Ideal, es gilt also ${\displaystyle {\sqrt {I(V)}}=I(V)}$.

Nehmen wir jetzt an, dass der Körper ${\displaystyle k}$ algebraisch abgeschlossen ist. Es stellt sich dann heraus, dass eine algebraische Menge genau dann irreduzibel ist, wenn ihr Verschwindeideal ein Primideal des Polynomrings ist. Ferner ist die Abbildung der Radikalideale auf Varietäten, gegeben durch ${\displaystyle J\to V(J)}$ bijektiv. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch ${\displaystyle V\to I(V)}$. Die Abbildungen tauschen Mengeninklusionen um; maximale Ideale entsprechen genau den Punkten des ${\displaystyle k^{n}}$. Dies ist eine Konsequenz aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Im Falle eines von einem Polynom ${\displaystyle P\in K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ erzeugten Hauptideals ${\displaystyle I(X)=(P)}$ ist ${\displaystyle (P)}$ genau dann ein Primideal, wenn ${\displaystyle P}$ ein irreduzibles Polynom ist, sich also nicht als Produkt nichtkonstanter Faktoren zerlegen lässt.[5]

Jede algebraische Menge kann auf eindeutige Weise als endliche Vereinigung irreduzibler Untervarietäten ${\displaystyle X_{i}}$ mit ${\displaystyle X_{i}\not \subset X_{j}}$ für ${\displaystyle i\not =j}$ dargestellt werden.[6]

• Wenn ${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$ eine reguläre Abbildung zwischen projektiven algebraischen Mengen ist, und wenn ${\displaystyle Y}$ irreduzibel und alle Urbilder ${\displaystyle \pi ^{-1}(p)}$ irreduzibel von derselben Dimension sind, dann ist ${\displaystyle X}$ irreduzibel.[7]
• Wenn ${\displaystyle X\subset P^{n}}$ eine Varietät und ${\displaystyle \Omega _{X}\subset P^{n*}\times X}$ ihr universeller Hyperebenenschnitt ist, dann ist ${\displaystyle \Omega _{X}}$ irreduzibel.[8]

• Harris, Joe: Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-97716-3
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2.
• David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-35650-1.
• Joachim Hilgert: Mathematische Strukturen. Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48869-0.

1. Jean Dieudonné: The historical development of algebraic geometry. In: American Mathematical Monthly. Band 97, Nr. 8, Oktober 1972, S. 827–866, S. 838, JSTOR:2317664: „… it was for the first time possible to give a precise meaning to the concepts of dimension and of irreducible variety“
2. Hulek, S. 20; Cox–Little–O’Shea, S. 5
3. Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 52). Springer, 1977, ISBN 1-4419-2807-3, S. 3. David Mumford: The Red Book of Varieties and Schemes (= Lecture Notes in Mathematics. Nr. 1358). Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-63293-X, S. 30.
4. Hilgert, S. 238; Cox–Little–O'Shea S. 5
5. Oprea: Irreducibility and Dimension
6. Harris, Theorem 5.7
7. Harris, Theorem 11.14
8. Harris, Theorem 5.8