Airy-Prozess

Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse für viele Anfangsbedingungen beschreiben.[1] Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.

Der Airy₂-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles - dem PNG-Droplet - unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy₂-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.[2]

Der Airy₂-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy₂-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.[3][4]

Der Airy $_{1}$ -Prozess wurde von Tomohiro Sasomoto[5] eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airy_stat-Prozess.[6]

Airy₂-Prozess

Seien $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$ in $\mathbb {R}$ .

Der Airy₂-Prozess $A_{2}(t)$ ist der stochastische Prozess, so dass

P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}

wobei

f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )

und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch

K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}\geq t_{j}\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}<t_{j}\end{cases}}

definiert ist.

Erläuterungen

Im Fall $t_{i}=t_{j}$ wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt

P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),

wobei

F_{2}(\xi )

die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung.

$f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}$ ist ein Spurklasseoperator auf $L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )$ mit Zählmaß auf $\{t_{1},\dots ,t_{n}\}$ und Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$ . Der Integralkern ist $f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}$ .[7]

Einzelnachweise

Basu, R., Busani, O. & Ferrari, P.L.: On the Exponent Governing the Correlation Decay of the Airy1 Process. In: Commun. Math. Phys. 2022, doi:10.1007/s00220-022-04544-1.
Michael Prähofer und Herbert Spohn: Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process. In: Journal of Statistical Physics. Band 108, 2002, arxiv:math/0105240.
Craig Tracy und Harold Widom: A System of Differential Equations for the Airy Process. In: Electronic Communications in Probability. Band 8, 2003, S. 93 - 98, doi:10.1214/ECP.v8-1074.
Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 277–329, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.
Tomohiro Sasamoto: Spatial correlations of the 1D KPZ surface on a flat substrate. In: IOP Publishing (Hrsg.): Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 38, Nr. 33, 2005, S. L549-L556, doi:10.1088/0305-4470/38/33/l01.
Jinho Baik, Patrik L. Ferrari und Sandrine: Limit process of stationary TASEP near the characteristic line. In: Wiley (Hrsg.): Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 63, Nr. 8, 2010, S. 1017–1070, doi:10.1002/cpa.20316.
Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 290, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.

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[1] Basu, R., Busani, O. & Ferrari, P.L.: On the Exponent Governing the Correlation Decay of the Airy1 Process. In: Commun. Math. Phys. 2022, doi:10.1007/s00220-022-04544-1.

[2] Michael Prähofer und Herbert Spohn: Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process. In: Journal of Statistical Physics. Band 108, 2002, arxiv:math/0105240.

[3] Craig Tracy und Harold Widom: A System of Differential Equations for the Airy Process. In: Electronic Communications in Probability. Band 8, 2003, S. 93 - 98, doi:10.1214/ECP.v8-1074.

[4] Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 277–329, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.

[5] Tomohiro Sasamoto: Spatial correlations of the 1D KPZ surface on a flat substrate. In: IOP Publishing (Hrsg.): Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 38, Nr. 33, 2005, S. L549-L556, doi:10.1088/0305-4470/38/33/l01.

[6] Jinho Baik, Patrik L. Ferrari und Sandrine: Limit process of stationary TASEP near the characteristic line. In: Wiley (Hrsg.): Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 63, Nr. 8, 2010, S. 1017–1070, doi:10.1002/cpa.20316.

[7] Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 290, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.

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