Airy-Funktion

Für reelle Werte ${\displaystyle x}$ ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,{\rm {d}}t\ .}$

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$:

${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right)\,{\rm {d}}t\ .}$

Die komplexe Airy-Funktion ist

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

mit Kontour ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle z_{1}=\infty }$ mit ${\displaystyle \operatorname {arg} (z_{1})=-\pi /3}$ nach ${\displaystyle z_{2}=\infty }$ mit ${\displaystyle \operatorname {arg} (z_{2})=\pi /3}$.

Für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle +\infty }$ lassen sich ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle -\infty }$ gelten die Beziehungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {\sin({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {\cos({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für ${\displaystyle x\to -\infty }$ zu

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {1}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {3}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }$

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für ${\displaystyle x=0}$ die folgenden Werte:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ gleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}}$ ist.

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]

${\displaystyle Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},}$

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ geht.

Funktionsgraphen von ${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)}$.

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen ${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)}$ zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten[4]

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}$

Sie lassen sich auch durch die Funktionen ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$ darstellen.