Affine Koordinaten

Sei ${\displaystyle A}$ ein affiner Raum mit zugehörigem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle V}$. Sei ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle V}$.[Anm. 1]

Dann heißen ${\displaystyle n+1}$ Punkte ${\displaystyle p_{0},\dotsc ,p_{n}}$ eine affine Basis, falls die Vektoren ${\displaystyle p_{1}-p_{0},\dotsc ,p_{n}-p_{0}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ bilden.

In diesem Fall gibt es zu jedem ${\displaystyle p\in A}$ eindeutig bestimmte ${\displaystyle \lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in K}$ mit ${\displaystyle p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}}$ und ${\displaystyle \lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1}$.

Dabei bedeutet die Notation ${\displaystyle p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}}$, dass für einen (und damit jeden) Punkt ${\displaystyle o\in A}$ die Gleichung ${\displaystyle p-o=\lambda _{0}(p_{0}-o)+\dotsb +\lambda _{n}(p_{n}-o)}$ in ${\displaystyle V}$ gilt.

Im affinen Raum ${\displaystyle A}$ gibt es keinen ausgezeichneten Nullpunkt. Eine affine Basis ${\displaystyle p_{0},\dotsc ,p_{n}}$ trägt diesem Umstand Rechnung. Wählt man einen Basisvektor beliebig aus, etwa ${\displaystyle p_{0}}$, so ist ${\displaystyle p_{1}-p_{0},\dotsc ,p_{n}-p_{0}}$ eine Basis des zugehörigen Vektorraums. Für jedes ${\displaystyle q\in A}$ hat man also eindeutige ${\displaystyle \mu _{1},\dotsc ,\mu _{n}\in K}$ mit ${\displaystyle q-p_{0}=\mu _{1}(p_{1}-p_{0})+\dotsb +\mu _{n}(p_{n}-p_{0})}$. Daraus folgt

${\displaystyle q=p_{0}+\mu _{1}(p_{1}-p_{0})+\dotsb +\mu _{n}(p_{n}-p_{0})=\left(1-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)p_{0}+\mu _{1}p_{1}+\dotsb +\mu _{n}p_{n}}$

Setzt man

${\displaystyle \lambda _{0}=1-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}}$, ${\displaystyle \lambda _{1}=\mu _{1},\dotsc ,\lambda _{n}=\mu _{n}}$,

so gilt ${\displaystyle q=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}}$ und ${\displaystyle \lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1}$. In dieser Darstellung sind die Basispunkte ${\displaystyle p_{0},\dotsc ,p_{n}}$ wieder gleich­berechtigt, keiner der Punkte ist irgendwie ausgezeichnet.

Die Koordinaten ${\displaystyle (\mu _{1};\dotsc$ ;\mu _{n})\in K^{n}} heißen inhomogene affine Koordinaten, ${\displaystyle (\lambda _{0};\dotsc$ ;\lambda _{n})\in K^{n+1}{\setminus }\lbrace 0\rbrace } heißen baryzentrische affine Koordinaten von ${\displaystyle q}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle p_{0},\dotsc ,p_{n}}$. Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes ${\displaystyle q}$, wenn der Vektor ${\displaystyle p_{0}}$ nicht der Nullvektor des Vektorraums ist.

Als homogene affine Koordinaten bezeichnet man die ${\displaystyle n+1}$-Tupel ${\displaystyle (\mu _{1};\dotsc$ ;\mu _{n};1)\in K^{n+1}} ; in der Literatur wird auch häufig alternativ ${\displaystyle (1;\mu _{1};\dotsc$ ;\mu _{n})\in K^{n+1}} verwendet. Diese Notation motiviert sich durch die Interpretation des ${\displaystyle n}$-dimensionale affinen Punktraumes als die durch ${\displaystyle x_{n+1}\not =0}$ gegebene Teilmenge des projektiven Raumes ${\displaystyle KP^{n}}$. Im projektiven Raum hat man vom ${\displaystyle K^{n+1}}$ induzierte „homo­gene“ Koordinaten, wobei alle ${\displaystyle (r\cdot \mu _{1};\dotsc ;r\cdot \mu _{n};r\cdot \mu _{n+1})}$ ${\displaystyle \in K^{n+1}}$ mit ${\displaystyle r\in K{\setminus }\lbrace 0\rbrace }$ denselben Punkt wie ${\displaystyle (\mu _{1};\dotsc$ ;\mu _{n};\mu _{n+1})} ${\displaystyle \in K^{n+1}{\setminus }\lbrace 0\rbrace }$ beschreiben, man für ${\displaystyle \mu _{n+1}\not =0}$ also ${\displaystyle \mu _{n+1}=1}$ setzen kann. Die Darstellung durch homogene Koordinaten kann unter anderem verwendet werden, um beliebige affine Abbildungen (Affinitäten) mit einer (erweiterten) Abbildungsmatrix ohne Translationsvektor zu beschreiben (→ zu dieser Koordinatendarstellung siehe Hauptartikel Homogene Koordinaten, zur erweiterten Abbildungsmatrix siehe Affine Abbildung: Erweiterte Abbildungsmatrix).

Zu einer affinen Basis ${\displaystyle p_{0},\dotsc ,p_{n}\in A}$ gibt es genau eine Affinität ${\displaystyle f\colon K^{n}\rightarrow A}$ mit ${\displaystyle f(0)=p_{0},f(e_{1})=p_{1},\dotsc ,f(e_{n})=p_{n}}$, wobei ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}}$ die kanonische Basis von ${\displaystyle K^{n}}$ sei. Ist nun ${\displaystyle q\in A}$, so können die affinen Koordinaten von ${\displaystyle f^{-1}(q)\in K^{n}}$ bezüglich der affinen Basis ${\displaystyle 0,e_{1},\dotsc ,e_{n}}$ im affinen Raum ${\displaystyle K^{n}}$ wie oben berechnet werden. Die Affinität ${\displaystyle f\colon K^{n}\rightarrow A}$ wird manchmal auch affines Koordinatensystem genannt; dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass ${\displaystyle f}$ die Koordinaten von ${\displaystyle K^{n}}$ nach ${\displaystyle A}$ trägt.[Anm. 2] In dieser Auffassung ist ${\displaystyle f(0)}$ der Ursprung und ${\displaystyle f^{-1}(q)}$ die Koordinatendarstellung des Ortsvektors eines Punktes ${\displaystyle q}$.

Sei ${\displaystyle (A,V)}$ ein affiner Raum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Ein geordnetes Paar (p, \lambda) mit einem Punkt ${\displaystyle p\in A}$ und einem Skalar ${\displaystyle \lambda \in K}$ nennt man auch einen „gewichteten Punkt“.

Sei nun ${\displaystyle (q_{1},\lambda _{1}),\dots (q_{k},\lambda _{k})}$ eine Sequenz von ${\displaystyle k}$ gewichteten Punkten mit ${\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{k}\lambda _{i}\neq 0}$.

Als Schwerpunkt der Sequenz bezeichnet man einen Punkt ${\displaystyle p\in A}$ genau dann, wenn für alle Punkte ${\displaystyle o\in A}$ gilt:

${\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}{\Bigl )}\cdot (p-o)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(q_{i}-o)}$,

d. h.

${\displaystyle p=o+{\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}}\cdot {\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(q_{i}-o)}}$

Siehe Anmerkungen.[Anm. 3]

Als Gewicht der Sequenz bezeichnet man die Summe der einzelnen Gewichte ${\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$.

Mit den auf Summe 1 normierten Gewichten ${\displaystyle \mu _{i}:={\frac {\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}}}$ gilt dann:

${\displaystyle p=o+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}(q_{i}-o)}$.

Ein (n+1)-Tupel ${\displaystyle (r_{0},r_{1},\dots ,r_{n})}$ von Punkten ${\displaystyle r_{i}\in A}$ nennt man einen Rahmen (auch Basis des affinen Raums genannt), wenn die Verbindungsvektoren ${\displaystyle b_{1}:=r_{1}-r_{0}\equiv {\overrightarrow {r_{0}r_{1}}},\dots b_{n}:=r_{n}-r_{0}\equiv {\overrightarrow {r_{0}r_{n}}}}$ eine Basis ${\displaystyle {\underline {b}}=(b_{1};\dots b_{n})}$ des Vektorraums ${\displaystyle V}$ bilden; ${\displaystyle o:=r_{0}}$ heißt dann Ursprung und ${\displaystyle (o,{\underline {b}})}$ ein affines Koordinatensystem.[2]

Für ${\displaystyle p\in A}$ nennt man ${\displaystyle {\underline {\lambda }}=(\lambda _{0},\dots \lambda _{n})\in K^{n+1}}$ die baryzentrischen Koordinaten von ${\displaystyle p}$ bezüglich des Rahmens ${\displaystyle r_{0},\dots r_{n}}$, wenn ${\displaystyle p}$ der Schwerpunkt der mit diesen Koordinaten gewichteten Rahmenpunkte ${\displaystyle (r_{0},\lambda _{0}),\dots (r_{n},\lambda _{n})}$ ist. Es gilt dann:

${\displaystyle p=r_{0}+{\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}}\cdot {\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(r_{i}-r_{0})}}$.

Für auf Gewicht 1 normierte baryzentrische Koordinaten ${\displaystyle {\underline {\mu }}=(\mu _{0};\mu _{1};\dots \mu _{n})}$ gilt:

${\displaystyle p=r_{0}+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}(r_{i}-r_{0})=o+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}b_{i}}$.

Wie man sieht, deckt sich diese Definition inhaltlich mit der obigen.

Sei ${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{3}}$ der dreidimensionale reelle Koordinatenraum. Dann bilden die drei Punkte ${\displaystyle (1,0,0),(0,1,0)}$ und ${\displaystyle (0,0,1)}$ zusammen mit dem Ursprung ${\displaystyle (0,0,0)}$ eine affine Basis. Für einen Punkt ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ sind die Zahlen ${\displaystyle x,y,z}$ die affinen Koordinaten bezüglich dieser Basis.

Wählt man die affine Basis aus dem Ursprung und den Punkten ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ und ${\displaystyle (-1,1,1)}$, so sind die affinen Koordinaten ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ zu einem Punkt ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ durch ${\displaystyle \lambda =x+z,\ \mu =y-z,\ \nu =z}$ gegeben, denn es gilt:

${\displaystyle (x+z){\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+(y-z){\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Geraden ${\displaystyle g}$ sind eindimensionale affine Unterräume und je zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle p_{0},p_{1}\in g}$ bilden eine affine Basis. Die Darstellung der Punkte von ${\displaystyle g}$ in affinen Koordinaten führt zur Geradengleichung in der sogenannten Parameterform, denn es ist

${\displaystyle g=\{\lambda p_{0}+\mu p_{1}|\,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\lambda +\mu =1\}=\{(1-\mu )p_{0}+\mu p_{1}|\,\mu \in \mathbb {R} \}=\{p_{0}+\mu (p_{1}-p_{0})|\,\mu \in \mathbb {R} \}}$.

Die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bildet einen affinen Raum. Ist ${\displaystyle p_{0}}$ eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und ${\displaystyle u_{1},\dotsc ,u_{n}}$ eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems, so bilden ${\displaystyle p_{0},p_{1}=p_{0}+u_{1},\dotsc ,p_{n}=p_{0}+u_{n}}$ eine affine Basis des affinen Lösungsraums des inhomogenen Gleichungssystems. Zu jeder Lösung ${\displaystyle p}$ gibt es daher eindeutig bestimmte ${\displaystyle \lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in K}$ mit ${\displaystyle p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}}$ und ${\displaystyle \lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1}$. Diese Betrachtung zeigt die bekannte Tatsache, dass es für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem keine ausgezeichnete spezielle Lösung gibt.