Adelering

Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers ${\displaystyle {K},}$ geschrieben ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,fin},}$ ist definiert als das restringierte Produkt der ${\displaystyle {K_{v}}}$ mit Restriktionsbedingung ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{v}},}$ das heißt

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,fin}:={\widehat {\prod \limits _{v\nmid \infty }}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.}$

Das bedeutet, dass die Menge der endlichen Adele alle Elemente der Form ${\displaystyle \textstyle (x_{v})_{v}\in \prod _{v\nmid \infty }K_{v}}$ enthält, so dass ${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ für fast alle ${\displaystyle v.}$ Die Addition und Multiplikation werden komponentenweise erklärt. Dadurch wird ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,fin}}$ zu einem Ring. Wir installieren auf der Menge der endlichen Adele die restringierte Produkttopologie. Das ist diejenige Topologie, die von den sogenannten restringierten offenen Rechtecken erzeugt wird, welche folgende Form haben:

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}{\mathcal {O}}_{v},}$

wobei ${\displaystyle E}$ eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle K}$ ist, welche ${\displaystyle P_{\infty }}$ enthält und ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$ offen sind.

Bemerkung: In der deutschen Literatur wird auch der Name eingeschränktes direktes Produkt für das restringierte Produkt verwendet. Im Folgenden wird der Begriff restringiertes Produkt verwendet. Weiterhin wird im Folgenden endlicher Adelering von ${\displaystyle K}$ als Synonym für ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,fin}}$ verwendet.

Der Adelering des globalen Körpers ${\displaystyle {K},}$ geschrieben ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ist definiert als das Produkt der Menge der endlichen Adele mit dem Produkt der endlich vielen Vervollständigungen nach den unendlichen Stellen. Diese sind ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und treten nur im algebraischen Zahlkörperfall auf. Damit erhalten wir also:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,fin}\times \prod \limits _{v\mid \infty }K_{v}={\widehat {\prod \limits _{v\nmid \infty }}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}\times \prod \limits _{v\mid \infty }K_{v}.}$

In Fall eines Funktionenkörpers ist die Menge der endlichen Adele gleich dem Adelering von ${\displaystyle {K}.}$ Auf dem Adelering von ${\displaystyle {K}}$ wird eine Addition und Multiplikation jeweils komponentenweise erklärt. Dadurch wird ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ zu einem Ring. Die Elemente von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ werden die Adele von ${\displaystyle K}$ genannt. Wir schreiben im Folgenden den Adelering als

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\widehat {\prod _{v}}}K_{v},}$

obwohl dies kein restringiertes Produkt im eigentlichen Sinne ist. Im Folgenden wird nicht extra darauf hingewiesen, dass die unendlichen Stellen unrestringiert dem Produkt hinzugefügt werden.

Sei ${\displaystyle {K}}$ ein globaler Körper und sei ${\displaystyle {S}}$ eine Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle {K}.}$ Definiere die Menge der ${\displaystyle S}$-Adele von ${\displaystyle {K}}$ als

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K,S}:={\widehat {\prod \limits _{v\in S}}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.\end{aligned}}}$

Die unendlichen Stellen, sofern in ${\displaystyle {S}}$ enthalten, werden dabei ohne Restriktionsbedingung hinzugefügt. Definiere weiterhin

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\widehat {\prod \limits _{v\notin S}}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.}$

Es gilt dann ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

Wir betrachten den Spezialfall ${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$ Zuerst überlegen wir uns, wie die Stellenmenge von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ aussieht: Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Stellenmenge von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prim }}\}\cup \{\infty \}}$ identifiziert werden kann, wobei die Primzahl ${\displaystyle p}$ dabei die Äquivalenzklasse des ${\displaystyle p}$-adischen Betrag repräsentiert und ${\displaystyle \infty }$ für die folgende Äquivalenzklasse von ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ steht, wobei ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ wie folgt definiert wird:

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&,{\text{ falls }}x\geq 0\\-x&,{\text{ sonst }}\end{cases}}\quad \forall x\in \mathbb {Q} .}$

Als Nächstes stellen wir fest, dass die Vervollständigung nach den Stellen von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ gerade die Körper der p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ für eine Stelle ${\displaystyle p}$ bzw. der Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ für die Stelle ${\displaystyle \infty }$ sind. Der zugehörige Ganzzahlring zum Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ Damit folgt, dass der endliche Adelering der rationalen Zahlen gleich

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,fin}={\widehat {\prod \limits _{p<\infty }}}^{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Q} _{p}}$

ist. Der ganze Adelering ist damit gleich

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=({\widehat {\prod \limits _{p<\infty }}}^{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Q} _{p})\times \mathbb {R} ,}$

wofür wir auch verkürzt schreiben:

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\widehat {\prod \limits _{p\leq \infty }}}\mathbb {Q} _{p},}$

mit der Konvention ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

Die Folge von Adelen in ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=({\frac {1}{2}},1,1,\dotsc )\\x_{2}&=(1,{\frac {1}{3}},1,\dotsc )\\x_{3}&=(1,1,{\frac {1}{5}},1,\dotsc )\\x_{4}&=(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\dotsc )\\&\vdots \end{aligned}}}$

konvergiert in der Produkttopologie gegen das Einsadel ${\displaystyle x=(1,1,\dotsc ),}$ jedoch nicht in der restringierten Produkttopologie.

Beweis: Die Konvergenz in der Produkttopologie entspricht der koordinatenweisen Konvergenz. Diese ist trivial, da die Koordinatenfolgen stationär werden. Die Folge konvergiert nicht in der restringierten Produkttopologie, da für jedes Adel ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ und für jedes restringierte offene Rechteck ${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p}}$ gilt: ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ für ${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ und daher ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ für alle ${\displaystyle p\notin F.}$ Es folgt, dass ${\displaystyle (x_{n}-a)\notin U}$ für fast alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Hierbei stehen ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ für endliche Teilmengen der Stellenmenge. Dabei ist ${\displaystyle F}$ eine endliche Ausnahmemenge des Adels ${\displaystyle a.}$

Der Adelering trägt nicht die Teilraumtopologie der Produkttopologie, da ansonsten der Adelering keine lokalkompakte Gruppe ist, vgl. hierzu den Satz, dass der Adelering ein topologischer Ring ist.

Sei ${\displaystyle {K}}$ ein globaler Körper. Es gibt eine natürliche diagonale Einbettung von ${\displaystyle {K}}$ in seinen Adelering ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K},\\&a\mapsto (a,a,a,\dotsc ).\end{aligned}}}$

Die Einbettung ist wohldefiniert, da für jedes ${\displaystyle \alpha \in K}$ gilt, dass ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ für fast alle ${\displaystyle {v}.}$ Sie ist injektiv, denn die Einbettung von ${\displaystyle {K}}$ in ${\displaystyle {K_{v}}}$ ist bereits injektiv für jedes ${\displaystyle {v}.}$ Es folgt, dass ${\displaystyle {K}}$ als Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ aufgefasst werden kann. Man kann ${\displaystyle {K}}$ sogar als Unterring seines Adelerings auffassen. Die Elemente aus ${\displaystyle K\subset \mathbb {A} _{K}}$ werden die Hauptadele von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ genannt.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings

${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times },}$

mit der mittels der Inklusion ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ durch die Produkttopologie auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\times \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ erzeugten Teilraumtopologie, ist die sogenannte Idelegruppe von ${\displaystyle K}$.

Definiere

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\lim \limits _{\overleftarrow {n}}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

d. h. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ist die pro-endliche Komplettierung der Ringe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ mit der partiellen Ordnung ${\displaystyle n\geq m:\Leftrightarrow m\mid n.}$ Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen ist also der projektive Limes über die Ringe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes kann gezeigt werden, dass die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen isomorph zum Produkt der ganzen ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ist. Es gilt also

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod \limits _{p{\text{ prim }}}\mathbb {Z} _{p}.}$

Definiere nun den Ring (der ganzzahligen Adele)

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$

Damit kann der Adelering über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ folgendermaßen dargestellt werden:

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Dies ist ein algebraischer Isomorphismus. Für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ gilt nun:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K,}$

wobei wir die rechte Seite mit folgender Topologie versehen. Es gilt, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ wobei die rechte Seite insgesamt ${\displaystyle n:=[K:\mathbb {Q} ]}$ Summanden hat. Wir installieren auf der rechten Seite die Produkttopologie von ${\displaystyle (\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })^{n}}$ und transportieren diese mit Hilfe des Isomorphismus auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Beweis: Wir beweisen zunächst die Gleichung für ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ Es ist also zu zeigen, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$ Es gilt ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong ({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong ({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\times \mathbb {R} ,}$ wobei man das „Ausmultiplizieren“ beim Tensorprodukt durch eine Betrachtung mit Basen einsieht. Die zweite Isomorphie folgt dadurch, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-lineare Abbildungen bereits ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linear sind. Offensichtlich reicht es zu zeigen, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,fin}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ist. Wir rechnen hierzu die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes nach. Definiere eine ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-bilineare Abbildung ${\displaystyle \Psi$ :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,fin}} via ${\displaystyle ((a_{p})_{p},q)\mapsto (a_{p}\cdot q)_{p}.}$ Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da nur endlich viele Primzahlen den Nenner von ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ teilen. Die Abbildung ${\displaystyle \Psi }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-bilinear.

Sei nun ${\displaystyle Z}$ ein weiterer ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul mit einer ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-bilinearen Abbildung ${\displaystyle \phi$ :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \rightarrow Z.} Zu zeigen ist, dass es genau eine ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-lineare Abbildung ${\displaystyle \theta$ :\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,fin}\rightarrow Z} gibt, mit der Eigenschaft: ${\displaystyle \theta \circ \Psi =\phi .}$ Die Abbildung ${\displaystyle \theta }$ wird wie folgt definiert: Zu gegebenem ${\displaystyle (u_{p})_{p}}$ existiert ein ${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$ und ein ${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ sodass ${\displaystyle \textstyle u_{p}={\frac {1}{u}}\cdot v_{p}}$ für alle ${\displaystyle p}$ gilt. Definiere dann ${\displaystyle \textstyle \theta ((u_{p})_{p}):=\phi ((v_{p})_{p},{\frac {1}{u}}).}$ Man mache sich klar, dass ${\displaystyle \theta }$ wohldefiniert ist, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-linear und ${\displaystyle \theta \circ \Psi =\phi }$ erfüllt. Weiterhin ist ${\displaystyle \theta }$ durch diese Eigenschaften bereits eindeutig festgelegt. Der allgemeine Fall kann ähnlich gezeigt werden und wird im folgenden Abschnitt noch allgemeiner bewiesen.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper und sei ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung. Ist ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper, dann ist die Körpererweiterung separabel. Im Funktionenkörperfall kann sie ebenfalls als separabel angenommen werden, vgl. Weil (1967), S. 48f. Damit ist ${\displaystyle L}$ wieder ein globaler Körper und ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ ist definiert. Für eine Stelle ${\displaystyle w}$ von ${\displaystyle L}$ und eine Stelle ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K,}$ definiere

${\displaystyle w\mid v,}$

falls der Betrag ${\displaystyle |\cdot |_{w}}$ eingeschränkt auf ${\displaystyle K}$ in der Äquivalenzklasse von ${\displaystyle v}$ liegt. Man sagt, die Stelle ${\displaystyle w}$ liegt über der Stelle ${\displaystyle v.}$ Definiere nun

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w\mid v}L_{w},\\{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}&:=\prod _{w\mid v}{\mathcal {O}}_{w}.\end{aligned}}}$

Beachte, dass mit ${\displaystyle v}$ die Stellen von ${\displaystyle K}$ und mit ${\displaystyle w}$ die Stellen von ${\displaystyle L}$ bezeichnet werden. Beachte weiterhin, dass beide Produkte endlich sind.

Bemerkung: Man kann ${\displaystyle K_{v}}$ in ${\displaystyle L_{w}}$ einbetten, falls ${\displaystyle w}$ über ${\displaystyle v}$ liegt. Dadurch kann man ${\displaystyle K_{v}}$ diagonal in ${\displaystyle L_{v}}$ einbetten und ${\displaystyle L_{v}}$ wird dadurch eine kommutative ${\displaystyle K_{v}}$-Algebra vom Grad ${\displaystyle \textstyle \sum _{w\mid v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

Es gilt nun

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}L_{v}.}$

Der Beweis beruht auf elementaren Eigenschaften restringierter Produkte.

Der Adelering von ${\displaystyle K}$ kann dabei wie folgt kanonisch in den Adelering von ${\displaystyle L}$ eingebettet werden: Dem Adel ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ wird das Adel ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ mit ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$ für ${\displaystyle w\mid v}$ zugeordnet. Deshalb kann ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ als Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ aufgefasst werden. Ein Element ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ liegt also genau dann in der Untergruppe ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ wenn seine Komponenten ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$ für ${\displaystyle w\mid v}$ erfüllen und weiterhin ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ für ${\displaystyle w\mid v}$ und ${\displaystyle w'\mid v}$ für die gleiche Stelle ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K}$ gilt.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper und sei ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gilt:

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L.}$

Dies ist ein algebraischer und topologischer Isomorphismus, wobei wir die Topologie des Tensorproduktes analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers konstruieren. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass ${\displaystyle [L:K]<\infty .}$ Mit der Hilfe dieses Isomorphismus, ist die Inklusion ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$ durch die Funktion

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}&\hookrightarrow \mathbb {A} _{L},\\\alpha &\mapsto \alpha \otimes _{K}1.\end{aligned}}}$

Darüber hinaus können die Hauptadele von ${\displaystyle K}$ mit einer Untergruppe der Hauptadele von ${\displaystyle L}$ identifiziert werden via der Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}K&\hookrightarrow (K\otimes _{K}L)\cong L,\\\alpha &\mapsto 1\otimes _{K}\alpha .\end{aligned}}}$

Beweis: Sei ${\displaystyle \omega _{1},\dotsc ,\omega _{n}}$ eine ${\displaystyle K}$-Basis von ${\displaystyle L.}$ Es gilt nun, dass

${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}\cong {\mathcal {O}}_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus {\mathcal {O}}_{v}\omega _{n}}$

für fast alle ${\displaystyle v,}$ vgl. Cassels (1967), S. 61.

Wir haben einen kanonischen Isomorphismus:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L&{\xrightarrow {\cong }}L_{v}=\prod _{w\mid v}L_{w},\\\alpha _{v}\otimes a&\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \tau _{w}}$ die kanonische Einbettung ${\displaystyle \tau _{w}:L\rightarrow L_{w}}$ ist und wie üblich ${\displaystyle w\mid v}$ gilt. Indem wir auf beiden Seiten das restringierte Produkt mit Restriktionsbedingung ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}}$ bilden, folgt die Behauptung:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=({\widehat {\prod \limits _{v}}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v})\otimes _{K}L\\&\cong {\widehat {\prod \limits _{v}}}^{({\mathcal {O}}_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus {\mathcal {O}}_{v}\omega _{n})}(K_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}.\end{aligned}}}$

Dieser Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 65.

Korollar: Der Adelering von ${\displaystyle L}$ als additive Gruppe

Als additive Gruppe betrachtet gilt:

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \dotsc \oplus \mathbb {A} _{K},}$

wobei die linke Seite insgesamt ${\displaystyle n:=[L:K]}$ Summanden hat. Die Hauptadele von ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ gehen dabei auf ${\displaystyle K\oplus \dotsc \oplus K,}$ wobei hier ${\displaystyle K}$ als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ aufgefasst wird. Die Summe hat dabei ${\displaystyle n}$ Summanden.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Sei ${\displaystyle P}$ eine endliche Stellenmenge von ${\displaystyle K,}$ die ${\displaystyle P_{\infty }}$ umfasst. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle P_{\infty }}$ die unendlichen Stellen des globalen Körpers. Definiere

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}{\mathcal {O}}_{v}.}$

Man definiert die Addition und Multiplikation komponentenweise und versieht den entstandenen Ring mit der Produkttopologie. Es entsteht ein lokalkompakter, topologischer Ring. Anders formuliert: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ist die Menge aller ${\displaystyle \textstyle x=(x_{v})_{v}\in \prod _{v}K_{v},}$ wobei ${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ für alle ${\displaystyle v\notin P,}$ also ${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$ für alle ${\displaystyle v\notin P,}$ gelten soll.

Bemerkung: Ist ${\displaystyle P'}$ eine weitere endliche Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle K}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle P\subset P',}$ dann ist ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ein offener Unterring von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

Wir geben nun eine alternative Definition des Adelerings. Mengentheoretisch ist ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ die Vereinigung über alle Mengen der Form ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P),}$ wobei die Vereinigung alle endlichen Teilmengen ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ von der gesamten Stellenmenge von ${\displaystyle K}$ durchläuft. Es gilt also

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty }, \atop P{\text{ endlich }}}\mathbb {A} _{K}(P).}$

In anderen Worten ist ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ nichts anderes als die Menge aller ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$ für die gilt: ${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$ für fast alle ${\displaystyle v<\infty .}$ Die Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ wird so definiert, dass alle ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ offene Unterringe von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ werden sollen. Dadurch wird ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ein lokalkompakter, topologischer Ring.

Sei nun ${\displaystyle v}$ eine Stelle von ${\displaystyle K}$ und sei ${\displaystyle P}$ eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle K,}$ welche die unendlichen Stellen und ${\displaystyle v}$ enthält. Es gilt:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)=\prod _{w\in P}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}$

Definiere nun

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}$

Dann gilt:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

Definiere weiterhin:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset (P_{\infty }\cup \{v\})}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

wobei ${\displaystyle P}$ alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft, welche ${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}}$ enthält. Dann gilt offensichtlich:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

via der Abbildung ${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$ Dies kann mit jeder endlichen Stellenmenge ${\displaystyle {\widetilde {P}}}$ anstelle von ${\displaystyle \{v\}}$ ebenso gemacht werden.

Mit Hilfe der obigen Definition von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v)}$ gibt es eine natürliche Einbettung ${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}}$ und eine natürliche Projektion ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

Die folgenden beiden Definitionen orientieren sich an Weil (1967), S. 60ff. Sei ${\displaystyle K}$ wie bisher ein globaler Körper und sei nun ${\displaystyle E}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum, ${\displaystyle n<\infty .}$ Wir fixieren eine ${\displaystyle K}$-Basis ${\displaystyle \omega _{1},\dotsc ,\omega _{n}}$ von ${\displaystyle E.}$ Für jede Stelle ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K}$ schreiben wir ${\displaystyle E_{v}:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus K_{v}\omega _{n}}$ und ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}:={\mathcal {O}}_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus {\mathcal {O}}_{v}\omega _{n}.}$ Definiere dann den Adelering von ${\displaystyle E}$ als

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}E_{v}.}$

Diese Definition ist angelehnt an die alternative Beschreibung des Adelerings als Tensorprodukt. Wir konstruieren wieder die Topologie auf ${\displaystyle E_{v}}$ analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(E)=n<\infty .}$ Wir versehen dann den Adelering von ${\displaystyle E}$ mit der restringierten Produkttopologie.

Analog wie in dem Abschnitt über den Adelering bei einer Körpererweiterung erhalten wir ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}.}$ Dann kann ${\displaystyle E}$ durch ${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1}$ natürlich in ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ eingebettet werden.

Im Folgenden wird eine alternative Definition der Topologie auf dem Adelering ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ gegeben. Die Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ist gegeben als die gröbste Topologie, für welche die Linearformen auf ${\displaystyle E,}$ das sind lineare Abbildungen ${\displaystyle \lambda :E\rightarrow K,}$ die ausgedehnt werden zu linearen Abbildungen von ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ stetig sind. Man benutzt jeweils, dass ${\displaystyle E}$ bzw. ${\displaystyle K}$ auf natürliche Art und Weise in ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ eingebettet werden können. Mit anderen Worten: Die Wahl einer Basis ${\displaystyle \epsilon }$ von ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle K}$ liefert einen Isomorphismus von ${\displaystyle K^{n}}$ nach ${\displaystyle E,}$ also einen Isomorphismus von ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ Man kann nun ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}}$ mit der Produkttopologie versehen und diese mit Hilfe des Isomorphismus nach ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ transportieren. Die Wahl der Topologie hängt nicht von der Wahl der Basis ab, denn eine weitere Basiswahl definiert einen zweiten Isomorphismus. Die Komposition der Isomorphismen ergibt einen linearen Homöomorphismus, der die eine Topologie in die andere überführt. Man kann dies wie folgt darstellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \dotsc \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \dotsc \oplus \mathbb {A} _{K}\\&=(\mathbb {A} _{K})^{n},\end{aligned}}}$

wobei die auftretenden Summen ${\displaystyle n}$ Summanden haben. Falls ${\displaystyle E=L,}$ so liefert obige Definition den bereits definierten Adelering.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper und sei nun ${\displaystyle A}$ eine endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Algebra. Dann ist ${\displaystyle A}$ insbesondere ein endlichdimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum. Folglich ist ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ definiert, vgl. dazu den letzten Abschnitt. Wir dehnen die Multiplikation von ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ aus. Dies geht wie folgt:

Es gilt, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$ Da wir eine Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ und auf ${\displaystyle A}$ haben, können wir eine Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ definieren, via

${\displaystyle (a\otimes _{K}b)\cdot (c\otimes _{K}d):=(ac)\otimes _{K}(bd)\quad \forall a,c\in \mathbb {A} _{K}{\text{ und }}\forall b,d\in A.}$

Alternativ, kann man eine ${\displaystyle K}$-Basis ${\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}}$ von ${\displaystyle A}$ fixieren. Um die Multiplikation auf ${\displaystyle A}$ vollständig zu beschreiben, genügt es zu wissen, wie die Basiselemente miteinander multipliziert werden. Es existieren ${\displaystyle \beta _{i,j,k}\in K,}$ so dass

${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}=\sum _{k=1}^{n}\beta _{i,j,k}\alpha _{k}\quad \forall i,j.}$

Mit Hilfe dieser ${\displaystyle \beta _{i,j,k},}$ können wir eine Multiplikation auf ${\displaystyle K^{n}\cong A}$ definieren:

${\displaystyle e_{i}e_{j}:=\sum _{k=1}^{n}\beta _{i,j,k}e_{k}\quad \forall i,j.}$

Und ebenso eine Multiplikation auf ${\displaystyle (K_{v})^{n}\cong A_{v}}$ und damit auf ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{A}.}$

Es folgt, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ eine ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$-Algebra mit ${\displaystyle 1}$ ist. Sei ${\displaystyle \alpha }$ eine endliche Teilmenge von ${\displaystyle A,}$ welche eine ${\displaystyle K}$-Basis von ${\displaystyle A}$ enthält. Für jede endliche Stelle ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K}$ nenne ${\displaystyle \alpha _{v}}$ das ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$-Modul erzeugt von ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle A_{v}.}$ Für jede endliche Teilmenge ${\displaystyle P}$ der Stellenmenge von ${\displaystyle K,}$ welche ${\displaystyle P_{\infty }}$ enthält, definiere

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod \limits _{v\in P}A_{v}\times \prod \limits _{v\notin P}\alpha _{v}.}$

Man kann zeigen, dass es dann eine endliche Menge ${\displaystyle P_{0}}$ gibt, so dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$ ein offener Unterring von ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ist, falls ${\displaystyle P\supset P_{0}.}$ Es gilt dann weiterhin, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ die Vereinigung aller dieser Unterringe ist. Man kann zeigen, dass im Falle ${\displaystyle A=K}$ der oben definierte Adelering kanonisch isomorph zur „ersten“ Definition des Adelerings ist.

Sei ${\displaystyle L}$ eine endliche Körpererweiterung des globalen Körpers ${\displaystyle K.}$ Dann gilt ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L.}$ Mit der Identifikation ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$ folgt, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ als abgeschlossener Unterring von ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ aufgefasst werden kann. Schreibe ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$ für diese Einbettung von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ in ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ Explizit gilt: Sei ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$ Dann ist ${\displaystyle (\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v},}$ wobei dies für alle ${\displaystyle w}$ über ${\displaystyle v}$ gilt.

Sei ${\displaystyle M/L/K}$ ein Körperturm globaler Körper. Dann gilt

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

Schränken wir die Abbildung ${\displaystyle \operatorname {con} }$ auf die Menge der Hauptadele ein, so ist sie gleich der kanonischen Injektion ${\displaystyle K\hookrightarrow L.}$

Sei nun ${\displaystyle \omega _{1},\dotsc ,\omega _{n}}$ eine Basis der Körpererweiterung ${\displaystyle L/K.}$ Also kann jedes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$ geschrieben werden als ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$ wobei ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$ eindeutig sind. Die Abbildung ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$ ist stetig. Definiere nun ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ (hängen von ${\displaystyle \alpha }$ ab) via der Gleichungen

${\displaystyle \alpha \omega _{i}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{i,j}\omega _{j}\qquad \forall i.}$

Norm und Spur von ${\displaystyle \alpha }$ werden definiert als:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{i,j})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i,i}\qquad {\text{ und }}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{i,j})_{i,j})=\operatorname {det} ((\alpha _{i,j})_{i,j}).\end{aligned}}}$

Dies sind genau die Spur bzw. die Determinante der linearen Abbildung ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\rightarrow \mathbb {A} _{L},}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x.}$ Beides sind stetige Funktionen auf dem Adelering.

Die Norm und die Spur erfüllen die üblichen Eigenschaften:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L},\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K},\\N_{L/K}(\alpha \cdot \beta )&=N_{L/K}(\alpha )\cdot N_{L/K}(\beta )\qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L},\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.\end{aligned}}}$

Weiterhin gilt, dass für ${\displaystyle \alpha \in L}$ die Spur ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$ und die Norm ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ der üblichen Spur und Norm der Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ entspricht. Für einen Körperturm ${\displaystyle M/L/K}$ haben wir wie gewohnt