Additives Modell

In der Statistik ist ein additives Modell (AM) ein nichtparametrisches Regressionsmodell. Es wurde durch Jerome H. Friedman und Werner Stuetzle (1981)[1] vorgeschlagen. Das additive Modell verwendet einen eindimensionalen Glätter, um eine eingeschränkte Klasse von nichtparametrischen Regressionsmodellen zu bilden. Daher ist das Modell weniger durch den Fluch der Dimensionalität betroffen als beispielsweise ein p-dimensionaler Glätter. Das AM ist flexibler als gewöhnliche lineare Regressionsmodelle. Probleme, die beim additiven Modell auftreten können, sind Überanpassung und Multikollinearität.

Das Standardmodell der additiven Regression

Gegeben seien die Beobachtungen $(y_{i},x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{ik})\quad ,i=1,\ldots ,n$ einer stetigen Antwortvariablen $y$ und erklärenden Variablen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ , deren Effekte auf die Antwortvariable durch einen linearen Prädiktor modelliert werden können. Zusätzlichen liegen die Beobachtungen $(z_{i1},z_{i2},\ldots ,z_{iq})\quad ,i=1,\ldots ,n$ einer stetigen erklärenden Variablen vor, deren Effekte nichtparametrisch analysiert und modelliert werden. Das Standardmodell der additiven Regression ist – falls keine Interaktionseffekte zwischen den erklärenden Variablen enthalten sind – gegeben durch:[2]

y_{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}+\varepsilon _{i}=\eta _{i}^{add.}+\varepsilon _{i}

,

wobei für die linearen Prädiktoren $\eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}$ und $\eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}$ gilt.

Die Funktionen $f_{1}(z_{1}),\ldots ,f_{q}(z_{q})$ stellen die nichtlinearen Glättungseffekte der erklärenden Variablen dar und werden mittels nichtparametrischer Verfahren modelliert und geschätzt. Die gleichen Annahmen bzgl. der Störgrößen wie beim klassischen linearen Modell werden getroffen (siehe Lineare Einfachregression#Annahmen über die Störgrößen). Bei additiven Modellen tritt das Identifikationsproblem auf.[3]

Siehe auch

Literatur

Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-642-01836-7.

Einzelnachweise

Friedman, J.H. und Stuetzle, W. (1981). Projection Pursuit Regression, Journal of the American Statistical Association 76:817–823. doi:10.1080/01621459.1981.10477729
Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.
Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.

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[1] Friedman, J.H. und Stuetzle, W. (1981). Projection Pursuit Regression, Journal of the American Statistical Association 76:817–823. doi:10.1080/01621459.1981.10477729

[2] Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.

[3] Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.