Additiver Funktor

Es seien ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ präadditive Kategorien. Ein Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}$ heißt additiv, falls die Abbildungen ${\displaystyle \mathrm {Mor} _{\mathfrak {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Mor} _{\mathfrak {D}}(FX,FY);\,f\mapsto Ff}$ für je zwei Objekte ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ aus ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet man additive Funktoren auf additiven oder abelschen Kategorien, da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.

Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:[1] Ein Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathfrak {B}}}$ ist genau dann additiv, wenn ${\displaystyle F(A_{1}\oplus A_{2})=F(A_{1})\oplus F(A_{2})}$ für alle Objekte ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ aus ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist ${\displaystyle (\iota _{j}:A_{j}\rightarrow A_{1}\oplus A_{2})_{j=1,2}}$ eine direkte Summe, so auch ${\displaystyle (F\iota _{j}:FA_{j}\rightarrow F(A_{1}\oplus A_{2}))_{j=1,2}}$.

• Die Hom-Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)}$ von der Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{R}}$ der ${\displaystyle R}$-Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$ in die Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}}$ der abelschen Gruppen, ${\displaystyle A}$ ein fester ${\displaystyle R}$-Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$
• Die Tensorfunktoren ${\displaystyle (A\otimes _{R}-):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$ sind additiv, ebenso ${\displaystyle (-\otimes _{R}A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$
• Halbexakte Funktoren sind additiv.[2]
• Der Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {M}}_{R}}$ mit ${\displaystyle FA=A\oplus R}$ für jeden Modul ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle Ff=f\oplus \mathrm {id} _{R}}$ für jeden Morphismus ${\displaystyle f}$ ist nicht additiv.

Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:

• Additive Funktoren überführen Nullobjekte in Nullobjekte.[3]
• Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.[4]
• Ist ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz und ${\displaystyle F}$ ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}FA^{'}\rightarrow L_{n}FA^{''}\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}FA^{'}\rightarrow L_{0}FA^{''}\rightarrow 0}$,

wobei ${\displaystyle L_{n}}$ für die ${\displaystyle n}$-te Linksableitung stehe.[5] Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt.

• Ist ${\displaystyle F{\xrightarrow {\rho }}F^{'}{\xrightarrow {\sigma }}F^{''}}$ eine Folge additiver Funktoren und natürlicher Transformationen ${\displaystyle \rho }$ und ${\displaystyle \sigma }$ und ist für jeden projektiven Modul ${\displaystyle P}$ die Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow FP{\xrightarrow {\rho ^{P}}}F^{'}P{\xrightarrow {\sigma ^{P}}}F^{''}P\rightarrow 0}$

exakt, so hat man für beliebige Moduln ${\displaystyle A}$ eine lange exakte Sequenz[6]

${\displaystyle \ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}F^{'}A\rightarrow L_{n}F^{''}A\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}F^{'}A\rightarrow L_{0}F^{''}A\rightarrow 0}$.

1. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.
2. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.
3. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 23.
4. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 24.
5. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.
6. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.