Achterknoten (Mathematik)

Eine einfache Parameterdarstellung des Achterknotens ist:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

Der Achterknoten ist der Abschluss des Zopfes ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$.

Das Alexander-Polynom des Achterknotens ist

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},}$

sein Jones-Polynom

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.}$

Das Kauffman-Polynom ist ${\displaystyle -1-{\frac {1}{x^{2}}}-x^{2}-{\frac {y}{x}}-xy+2y^{2}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}+x^{2}y^{2}+{\frac {y^{3}}{x}}+xy^{3}}$, das HOMFLY-Polynom ${\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}-y^{2}-1}$, das Klammerpolynom ${\displaystyle x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}-x^{4}-{\frac {1}{x^{4}}}+1}$, das Conway-Polynom ${\displaystyle 1-x^{2}}$ und das BLM-Polynom ${\displaystyle 2x^{3}+4x^{2}-2x-3}$.

Die Kreuzungszahl des Achterknotens ist 4, sein Geschlecht ist 1 und seine Seifert-Matrix ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\-1&-1\end{array}}\right)}$.

Die Knotengruppe des Achterknotens hat die Präsentierung

${\displaystyle \Gamma =\langle a,b\mid \left[a^{-1},b\right]a=b\left[a^{-1},b\right]\rangle }$.

Ihre Charaktervarietät ${\displaystyle X(\Gamma )}$ ist die elliptische Kurve[2]

${\displaystyle z^{2}=u^{3}-2u+1,}$

das A-Polynom ist

${\displaystyle -M^{4}+L(1-M^{2}-2M^{4}-M^{6}=M^{8})-L^{2}M^{4}.}$

Der Achterknoten ist achiral (auch amphichiral genannt), das heißt, er ist in sein Spiegelbild deformierbar. Er ist kein Torusknoten.

Der Achterknoten ist ein hyperbolischer Knoten, sein hyperbolisches Volumen beträgt

${\displaystyle vol(S^{3}-K)=2D_{2}(\omega )=2{,}02\dots }$

Hierbei ist ${\displaystyle D_{2}}$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$.

Die hyperbolische Struktur ist gegeben durch die treue und diskrete Darstellung

${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to PSL(2,\mathbb {Z} \left[\omega \right])\subset PSL(2,\mathbb {C} )=Isom^{+}(H^{3})}$

${\displaystyle \rho (a)=({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}})}$

${\displaystyle \rho (b)=({\begin{array}{cc}1&0\\-\omega &1\end{array}})}$.

Die hyperbolische Struktur auf dem Komplement des Achterknotens wurde 1975 von Riley entdeckt.[3] Dieses Beispiel motivierte Thurston zur Suche nach hyperbolischen Strukturen auf weiteren Knotenkomplementen, was letztlich in die Geometrisierungsvermutung mündete.

Der Achterknoten ist der einzige arithmetische hyperbolische Knoten.[4]

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass der Achterknoten der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist.[5]

Einfache quadratische Darstellung der Figur-acht-Konfiguration.

Symmetrische Darstellung, die durch parametrische Gleichungen erzeugt wird.

Seifert-Fläche für einen Achterknoten.

• Achterknotenkomplement

1. Eric W. Weisstein: Figure Eight Knot. In: MathWorld (englisch).
2. Mehmet Haluk Șengün: An introduction to A-polynomials and their Mahler measures.
3. Robert Riley: A quadratic parabolic group. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 281–288.
4. Alan Reid: Arithmeticity of Knot Complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
5. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.