Achterknotenkomplement

Die zum rechts abgebildeten Knotendiagramm gehörende Wirtinger-Präsentierung der Knotengruppe ist

${\displaystyle \Gamma =\langle a,b|\left[a^{-1},b\right]a=b\left[a^{-1},b\right]\rangle }$,

wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ Meridiane um zwei der Bögen des Knotendiagramms sind.

Die hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement wird durch die diskrete, treue Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to PSL(2,\mathbb {C} )}$ definiert, welche ${\displaystyle a}$ auf ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)}$ und ${\displaystyle b}$ auf ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\e^{\frac {\pi i}{3}}&1\end{array}}\right)}$ abbildet.

Diese Darstellung wurde 1974 von Riley gefunden.[1] Ihr Bild liegt in der Bianchi-Gruppe ${\displaystyle PSL(2,O_{3})}$ und hat dort endlichen Index.

Bis auf komplexe Konjugation und Konjugation mit Matrizen aus ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$ ist dies die einzige hyperbolische Struktur, siehe Mostow-Starrheit.

Das Achterknotenkomplement ist die einzige hyperbolische Mannigfaltigkeit, für die Gleichheit in der Jørgensen-Ungleichung gilt, die also von 2 Elementen ${\displaystyle f,g\in PSL(2,\mathbb {C} )}$ mit ${\displaystyle \vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1}$ erzeugt wird.

Man erhält das Achterknotenkomplement durch Verkleben zweier idealer Tetrahedra.

Seien ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{4}}$ die Ecken der bereits entlang der gemeinsamen Seitenfläche ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$ verklebten Tetraeder, dann wird die Seitenfläche ${\displaystyle \Delta (v_{0},v_{1},v_{2})}$ mit ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{3},v_{4})}$, ${\displaystyle \Delta (v_{0},v_{2},v_{4})}$ mit ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$ und ${\displaystyle \Delta (v_{0},v_{1},v_{4})}$ mit ${\displaystyle \Delta (v_{2},v_{3},v_{4})}$ verklebt.

Als Fundamentalbereich der Wirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ im Halbraum-Modell des hyperbolischen Raumes kann man die Vereinigung der beiden entlang der gemeinsamen Seitenfläche ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$ verklebten idealen Tetraeder mit Ecken

${\displaystyle v_{0}=\infty ,v_{1}=1,v_{2}=e^{\frac {\pi i}{3}},v_{3}=e^{-{\frac {\pi i}{3}}},v_{4}=0}$

nehmen. (Hier wurde der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes mit ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ identifiziert.)

Die Verklebeabbildungen werden dann von den Matrizen

${\displaystyle \tau \left({\begin{array}{cc}1&1\\1&e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right),\tau \left({\begin{array}{cc}1&-e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}\\1&1-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right),\tau \left({\begin{array}{cc}1&-1\\e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}&1-e^{\frac {2\pi i}{3}}\end{array}}\right)}$

mit ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{e^{\frac {2\pi i}{3}}-1}}}$ realisiert.[2]

Das Achterknotenkomplement ist das einzige arithmetische hyperbolische Knotenkomplement.[3]

Sein Spurkörper ist ${\displaystyle k\Gamma =\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$ und seine Quaternionenalgebra ist ${\displaystyle A\Gamma =M_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}}))}$.

Das hyperbolische Volumen des Achterknotenkomplements beträgt

${\displaystyle \operatorname {Vol} (S^{3}-K)=2D_{2}(\omega )=2{,}02\dots }$.

Hierbei ist ${\displaystyle D_{2}}$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$.

Dies ergibt sich, weil die idealen Tetraeder der obigen Triangulierung beide regelmäßige Tetraeder und somit alle Diederwinkel ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$ sind. Das Volumen des idealen Tetraeders ${\displaystyle T_{\alpha ,\beta ,\gamma }}$ mit diedrischen Winkeln ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden als ${\displaystyle \operatorname {Vol} (T_{\alpha ,\beta ,\gamma })=\Lambda (\alpha )+\Lambda (\beta )+\Lambda (\gamma )}$ und für ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}}$ ergibt sich daraus ${\displaystyle \operatorname {Vol} (T_{{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}})=3\Lambda \left({\frac {\pi }{3}}\right)=D_{2}(\omega )}$.

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass das Achterknotenkomplement das hyperbolische Knotenkomplement kleinsten Volumens ist.[4]

Das Achterknotenkomplement ist der Abbildungstorus der Arnoldschen Katzenabbildung ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$ des einfach punktierten Torus.

Die Fundamentalgruppe der Faser ist die freie Gruppe ${\displaystyle F_{2}}$. Man hat also eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to F_{2}\to \Gamma \to \mathbb {Z} \to 1}$,

die Monodromie ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$ ist das Produkt ${\displaystyle LR}$ aus den Dehn-Twists ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle R}$ an Longitude und Meridian des Torus.

Assoziiert zu einem Abbildungstorus einer Selbstabbildung eines punktierten Torus hat man eine kanonische ideale Triangulierung[5][6] und im Fall der Monodromie ${\displaystyle LR}$ liefert diese die oben beschriebene ideale Triangulierung des Achterknotenkomplements.

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch ${\displaystyle (-5,1)}$-Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

• W. P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes, Princeton University 1976–79 online
• Colin MacLachlan, Alan Reid: The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 219. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-98386-4

• Hyperbolic non-euclidean world

1. Robert Riley: A personal account of the discovery of hyperbolic structures on some knot complements
2. MacLachlan-Reid, op.cit., Section 4.4.2
3. Alan Reid: Arithmeticity of knot complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
4. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.
5. William Floyd, Allen Hatcher: Incompressible surfaces in punctured-torus bundles. Topology Appl. 13 (1982), no. 3, 263–282.
6. François Guéritaud: On canonical triangulations of once-punctured torus bundles and two-bridge link complements. With an appendix by David Futer. Geom. Topol. 10 (2006), 1239–1284.