Abzählbar normierter Raum

Seien ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ zwei Normen auf einem linearen Raum ${\displaystyle V}$. Man nennt ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ kompatibel oder konsistent, falls eine Cauchy-Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V}$, welche in einer der beiden Normen gegen ${\displaystyle x'\in V}$ konvergiert, auch in der anderen Norm gegen ${\displaystyle x'}$ konvergiert.

Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle X}$ heißt abzählbar normierter Raum, falls die Topologie durch eine abzählbare Menge kompatibler Normen ${\displaystyle \{\|\cdot \|_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ erzeugt wurde.[2]

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Normen von der Form ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\leq \|\cdot \|_{q}}$ für ${\displaystyle q>p}$ sind, ansonsten definiert man die Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{1,k}=\max(\|\cdot \|_{1},\|\cdot \|_{2},\dots ,\|\cdot \|_{k})}$, welche die gleiche Topologie erzeugen.

Sei ${\displaystyle X_{n}}$ der Banachraum, der durch die Vervollständig bezüglich der ${\displaystyle \|\cdot \|_{n}}$-Norm entstanden ist. Dann existiert eine Inklusion

${\displaystyle X_{1}\supset X_{2}\supset \cdots \supset X_{n}\supset \cdots }$

und ${\displaystyle X}$ ist ein Fréchet-Raum und der projektive Limes

${\displaystyle X=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }X_{n}.}$

${\displaystyle X}$ ist metrisierbar und eine Metrik ist durch

${\displaystyle d(x,y)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {\|x-y\|_{n}}{1-\|x-y\|_{n}}}}$

gegeben. Eine Folge in ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann eine Cauchy-Folge bezüglich dieser Metrik, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich jeder Norm ist.

• Sei ${\displaystyle X=C^{\infty }[a,b]}$ der Raum der glatten Funktionen auf ${\displaystyle [a,b]}$, dann wird der Raum durch die Normen

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup \limits _{\begin{array}{c}a\leq t\leq b\\0\leq k\leq n\end{array}}|f^{(k)}(t)|}$

zu einem abzählbar normierten Raum.

• Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.

1. Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich., Shilov, G. E.: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Generalized Functions. Band 2. Vereinigte Staaten 2016.
2. V.A. Sadovnichii: Theory of operators. Hrsg.: Springer. Niederlande, US 1991, S. 85.