Abstand

Der Abstand (auch Entfernung oder Distanz) zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte.

Im euklidischen Raum ist dies die Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Objekte, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der geometrischen Schwerpunkte.

Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor).

In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben.

Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

Der Abstand zweier Punkte in der Ebene

d(A,B)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}{\text{, wobei }}A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

[1]

Für die Ebene ( $A,B\in \mathbb {R} ^{2}$ ):

d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}

Für den dreidimensionalen Raum ( $A,B\in \mathbb {R} ^{3}$ ):

d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}

[2]

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Beispiel: Abstand

d(P,g)

zwischen Punkt

P

und Geraden

g

in der Ebene.

Der Abstand zwischen dem Punkt $P(x_{0},y_{0})$ und der Geraden $g$ mit der Koordinatenform $ax+by+c=0$ beträgt:

d(P,g)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

Der Punkt auf der Geraden $g$ , der $(x_{0},y_{0})$ am nächsten liegt, hat die Koordinaten

\left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)

Wenn die Gerade $g$ durch die Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ verläuft, ist

a=y_{2}-y_{1}

b=x_{1}-x_{2}

c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}

Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.[3]

Beispiel

Eingesetzte Werte für Gerade $g$ : $a=-3,\;b=4,\;c=10$ und für Punkt $P:\;x_{0}=4,\;y_{0}=6$

d(P,g)={\frac {(-3)\cdot 4+4\cdot 6+10}{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={\frac {22}{5}}=4{,}4\;

Abstand im dreidimensionalen Raum

Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Der Abstand zwischen dem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ und der Geraden $g$ , die durch die Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ und $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ verläuft, beträgt mit den Vektoren ${\vec {p_{0}}},\;{\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}$ :

d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}

[4]

Beispiel

Beispiel: Abstand

d(P_{0},g)

zwischen Punkt

P_{0}

und Geraden

g

im Raum.

Konstruktion des Abstandes $d(P_{0},g)$ .

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte $P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right)$ und $P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right)$ , durch die die Gerade $g$ verläuft, und der Punkt $P_{0}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)$ .

Nach dem Einzeichnen der Geraden $g$ durch $P_{1}$ , $P_{2}$ und dem Punkt $P_{0}$ werden die Verbindungsvektoren ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}$ und ${\vec {p_{0}}}$ eingezeichnet. Eine abschließend errichtete Senkrechte auf die Gerade $g$ durch Punkt $P_{0}$ liefert den Abstand $d(P_{0},g)=4{,}974\ldots \;$ [LE].

Nachrechnung

Diese Werte in die Formel eingesetzt, ergeben

d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-1{,}5\\-3{,}5\\-3{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-15{,}75\\-15{,}75\\22{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}

={\frac {\left|{\sqrt {(-15{,}75)^{2}+(-15{,}75)^{2}+22{,}5^{2}}}\right|}{\left|{\sqrt {(-4{,}5)^{2}+4{,}5^{2}+0^{2}}}\right|}}=4{,}974\ldots \;

[LE].

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

Zwei windschiefe Geraden ( $g_{1},\;g_{2}$ ), wobei die eine durch die Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ und $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ und die andere durch die Punkte $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ und $P_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ verläuft, haben mit den Vektoren ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}},\;{\vec {p_{4}}}$ folgenden Abstand:

d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}

[5]

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes

d(g_{1},g_{2})

zwischen zwei windschiefen Geraden

g_{1}

und

g_{2}

im Raum.

Konstruktion des Abstandes $d(g_{1},g_{2})$ mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte $P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right),\;P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right),\;P_{3}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)$ und $P_{4}=\left(0{,}2\left|2{,}5\right|6\right).$

Nach dem Einzeichnen der Geraden $g_{1}$ durch $P_{1}$ , $P_{2}$ und $g_{2}$ durch $P_{3}$ , $P_{4}$ werden zunächst die Verbindungsvektoren ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}\;{\vec {p_{3}}}$ und ${\vec {p_{4}}}$ eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu $g_{2}$ durch $P_{1}$ gezogen und anschließend der Punkt $A$ beliebig auf der Parallele markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes $A,P_{1}$ und $P_{2}$ wird die Ebene $E$ generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt $P_{3}$ auf die Ebene $E$ mit Fußpunkt $B$ und eine Parallele zu $g_{2},$ die $g_{1}$ in $C$ (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu ${\overline {P_{3}B}}$ ab dem Punkt $C$ bis zur Geraden $g_{2}$ den Abstand: $d(g_{1},g_{2})=4{,}605\ldots \;$ [LE].

Nachrechnung

Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben

d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right)\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}}

={\frac {\left|186{,}975\right|}{\left|{\sqrt {11{,}25^{2}+11{,}25^{2}+37{,}35^{2}}}\right|}}=4{,}605\ldots \;

[LE].

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Der Abstand zwischen dem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ und der Ebene $E$ mit der Koordinatenform $ax+by+cz-f=0$ [A 1] beträgt:

\;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-f|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}

[A 1]

Für die einzusetzenden Werte gilt:

\;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\\&\left(3\right)b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}\\&\left(4\right)c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\&\left(5\right)f=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}\\\end{aligned}}

Wenn drei Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ , $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ , $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ gegeben sind, die eine Ebene $E$ bestimmen (siehe Dreipunkteform) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren ${\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}}$ mit folgender Formel berechnen:

\;\;(6)\;\;d(P_{0},E)=\left|{\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\right|

[6][A 2]

Dabei steht $\times$ für das Kreuzprodukt, $\cdot$ für das Skalarprodukt und $\left|\quad \right|$ für den Betrag des Vektors.

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes

d(P,E)

zwischen dem Punkt

P

und der Ebene

E

im Raum.

Konstruktion des Abstandes $d(P,E)$ [7]

Nach dem Eintragen der Punkte $A,\;B$ und $C$ sowie des außerhalb liegenden Punktes $P,$ kann die Ebene $E:2x-2z-2=0$ generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt $O$ des Koordinatenursprungs auf die Ebene $E$ mit dem Fußpunkt $D.$ Durch die Punkte $O$ und $D$ verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von $E$ ermittelbare, Normalenvektor mit ${\vec {n}}=\left(2\left|0\right|-2\right).$ Abschließend liefert die Parallele zu ${\overline {OD}}$ ab dem Punkt $P$ bis zur Ebene $E$ den Abstand: $d(P,E)=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;$ [LE].

Nachrechnung

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel $(1)$

\;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=0\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 2-0\cdot 1+0\cdot 0-0\cdot 2=2\\&\left(3\right)b=0\cdot 2-1\cdot 1+1\cdot 3-2\cdot 2+2\cdot 1-0\cdot 3=0\\&\left(4\right)c=1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0-3\cdot 1+3\cdot 0-1\cdot 0=-2\\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 0\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0\cdot 1-3\cdot 1\cdot 0=2\\\end{aligned}}

Diese Werte eingesetzt in $(1)$ ergeben schließlich

\;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|2\cdot 4+0\cdot 5+(-2)\cdot (-3)-2|}{\sqrt {2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}}=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;

[LE].

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Andere Definitionen

Die Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm (2-Norm) eines Vektorraums, z. B. des dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, siehe Metrischer Raum - Beispiele.

Manhattan-Metrik

Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang). Die grüne Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar, der eine Länge von

6{\sqrt {2}}\approx 8{,}5

Einheiten hat.

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der der Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:[8]

d(A,B)=\sum _{i}\left|A_{i}-B_{i}\right|

Die Manhattan-Metrik ist die von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen „Gebäudeblöcke“, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidischen Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) ist immer eine ganze Zahl.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

d(A,B)=\left|A_{1}-B_{1}\right|+\left|A_{2}-B_{2}\right|=\left|0-6\right|+\left|0-6\right|=\left|-6\right|+\left|-6\right|=12

ergibt, wobei $A=(A_{1},A_{2})=(0,0)$ und $B=(B_{1},B_{2})=(6,6)$ die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Dichtestes Punktpaar

Die zwei Punkte mit dem kleinsten Abstand sind rot markiert.

Das Problem des dichtesten Punktpaares (englisch closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden Punkten in einer Ebene. Gegeben ist eine beliebige Menge von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der euklidische Abstand minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen euklidischen Abstand.

Der Brute-force-Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in $O(n^{2})$ . Ein Divide-and-conquer-Algorithmus hat eine Laufzeit, die in $O(n\cdot \log n)$ liegt.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Abstand – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Abstand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Abstand – Zitate

Anmerkungen

Um eine Doppelbezeichnung der Konstante $d$ zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen $-f$ gewählt.
Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung $d$ anstatt $D$ gewählt.

Einzelnachweise

Petra Stein, Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. 3.5 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße für metrische Variablen. In: Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15, abgerufen am 19. Oktober 2018.
Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum. In: MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018.
Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
Wolfram MathWorld: Line-Line Distance
Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
R. Verfürth: I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.; Beispiel I.5.6. Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I. Ruhr-Universität Bochum, Dezember 2006, S. 37―39, abgerufen am 22. Mai 2021.
Wolfram MathWorld: Taxicab Metric

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[Konstante_f-6] Um eine Doppelbezeichnung der Konstante $d$ zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen $-f$ gewählt.

[8] Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung $d$ anstatt $D$ gewählt.

[1] Petra Stein, Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. 3.5 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße für metrische Variablen. In: Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15, abgerufen am 19. Oktober 2018.

[2] Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum. In: MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018.

[3] Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional

[4] Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional

[5] Wolfram MathWorld: Line-Line Distance

[7] Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

[9] R. Verfürth: I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.; Beispiel I.5.6. Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I. Ruhr-Universität Bochum, Dezember 2006, S. 37―39, abgerufen am 22. Mai 2021.

[10] Wolfram MathWorld: Taxicab Metric