Absoluter Umgebungsretrakt

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist ein absoluter Umgebungsretrakt, wenn folgendes gilt:

Es gibt zu jedem normalen abgeschlossenen Unterraum ${\displaystyle Y\subseteq X}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle U\supseteq Y\;(U\subseteq X)}$ und eine stetige Abbildung ${\displaystyle r\colon U\to Y}$ so, dass ${\displaystyle r(y)=y}$ für alle ${\displaystyle y\in Y}$ gilt; also so, dass die Einschränkung ${\displaystyle r|_{Y}}$ auf ${\displaystyle Y}$ die Identität ist.

Die Definition lässt sich auch so fassen:

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist ein absoluter Umgebungsretrakt genau dann, wenn gilt:

Ist ${\displaystyle Z}$ ein normaler Raum, ${\displaystyle Y\subseteq Z}$ ein darin gelegener abgeschlossener Unterraum und ${\displaystyle g\colon Y\rightarrow X}$ eine stetige Abbildung, so existiert, wie auch immer ${\displaystyle Z,Y,g}$ beschaffen sind, zu ${\displaystyle g}$ stets eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle g^{+}\colon V\rightarrow X}$ auf eine Umgebung ${\displaystyle V\supseteq Y\;(V\subseteq Z)}$.[1]

Die Begriffsbildung des absoluten Umgebungsretrakts geht auf den polnischen Mathematiker Karol Borsuk zurück. Sie wird jedoch in der zeitgenössischen Mathematik verallgemeinert, nämlich in der soeben beschriebenen Weise, aufgefasst.[2][3]

• Jeder ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ ist ein ANR.[2]
• Die offenen Teilmengen eines ANR und alle in ihm liegenden Retrakte sind ANRs.[2]
• Jede separable Mannigfaltigkeit ist ein ANR.[4]
• Jedes lokal endliche Polyeder ist ein ANR.[5]
• Satz von Hanner: Wenn ein topologischer Raum von endlichen vielen offenen Teilmengen überdeckt wird, die alle ANRs sind, dann ist er ein ANR.[2]

• ANRs sind lokal zusammenziehbar.
• Ein Raum ist genau dann ein ANR, wenn er ein Retrakt einer offenen Teilmenge eines konvexen Unterraums eines normierten Raums ist.
• Jeder ANR ist homotopieäquivalent zu einem abzählbaren CW-Komplex.[6]

• Borsuk: Sur les rétractes. Fund. Math. 17, 2–20 (1931).
• Borsuk: Sur un espace compact localement contractile qui n'est pas un rétracte absolu de voisinage. Fund. Math. 35, 175–180 (1948).
• Olof Hanner: Some theorems on absolute neighborhood retracts. Arkiv för Matematik, 1, 389–408 (1951), doi:10.1007/BF02591376
• John Milnor: On spaces having the homotopy type of a CW-complex. Trans. Amer. Math. Soc. 90, 272–280 (1959).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).

• Sibe Mardešić: Absolute Neighborhood Retracts and Shape Theory

1. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 158 ff
2. Schubert, op. cit., S. 159
3. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 106
4. Milnor, op. cit., S. 272–273
5. Hanner, op. cit., S. 394
6. Milnor, op. cit., S. 272