Absolut stetige Funktion

Es sei ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ein endliches reelles Intervall und ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {C} }$ eine komplexwertige Funktion auf ${\displaystyle I}$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt absolut stetig, falls es für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ gibt, welches derart klein ist, dass für jede endliche Folge paarweise disjunkter Teilintervalle ${\displaystyle \{]x_{k},y_{k}[\}_{1\leq k\leq n}}$ von ${\displaystyle I}$, deren Gesamtlänge ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})\,<\delta }$ ist, gilt

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon .}$

Absolut stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Die Umkehrung gilt nicht, so ist die Cantor-Funktion stetig, aber nicht absolut stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Von besonderer Bedeutung für die Maßtheorie sind die reellwertigen absolut stetigen Funktionen. Es bezeichne ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß. Für monoton steigende reellwertige Funktionen ${\displaystyle f\colon I=[a,b]\to \mathbb {R} }$ sind folgende Eigenschaften äquivalent:

1. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist absolut stetig auf ${\displaystyle I}$.
2. Die Funktion ${\displaystyle f}$ bildet ${\displaystyle \lambda }$-Nullmengen wieder auf Nullmengen ab, d. h. für alle messbare Mengen ${\displaystyle A\subseteq I}$ gilt ${\displaystyle \lambda (A)=0\implies \lambda (f(A))=0}$.
3. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle \lambda }$-fast überall differenzierbar, die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'\in L^{1}(\lambda )}$ ist integrierbar und für alle ${\displaystyle x\in I}$ gilt ${\displaystyle \textstyle f(x)-f(a)=\int _{a}^{x}f'(t)\ \mathrm {d} \lambda (t)}$.

Daraus folgt ein enger Zusammenhang zwischen den absolut stetigen Funktionen und den absolut stetigen Maßen, dieser wird durch die Verteilungsfunktionen vermittelt.

Ein Maß ${\displaystyle \mu }$ ist genau dann absolut stetig bzgl. ${\displaystyle \lambda }$, wenn jede Einschränkung der Verteilungsfunktion von ${\displaystyle \mu }$ auf ein endliches Intervall ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ eine absolut stetige Funktion auf ${\displaystyle I}$ ist.

Zwei Maße nennt man äquivalent, wenn beide absolut stetig bezüglich einander sind

${\displaystyle \mu \sim \lambda \iff \mu \ll \lambda \wedge \lambda \ll \mu }$.

Die absolut stetigen Funktionen finden auch Anwendung in der Integrationstheorie, sie dienen dort dazu den Fundamentalsatz der Analysis auf Lebesgue-Integrale auszudehnen. Jenseits der obigen Äquivalenz sind nämlich auch nicht-monotone absolut stetige Funktionen fast überall differenzierbar und es gilt ${\displaystyle \textstyle f(x)-f(a)=\int _{a}^{x}f'\,\mathrm {d} \lambda }$. Außerdem ist ${\displaystyle f}$ schwach differenzierbar und die schwache Ableitung stimmt (fast überall) mit ${\displaystyle f'}$ überein. Dies liefert tatsächlich eine Charakterisierung der Lebesgue-Integrierbarkeit, denn die folgende Umkehrung gilt ebenfalls für beliebige Funktionen:

Besitzt eine Funktion ${\displaystyle f\colon I=[a,b]\to \mathbb {R} }$ eine integrierbare Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'\in L^{1}}$ und gilt für alle ${\displaystyle x\in I}$, dass ${\displaystyle \textstyle f(x)-f(a)=\int _{a}^{x}f'(t)\ \mathrm {d} \lambda (t)}$, so ist ${\displaystyle f}$ notwendig absolut stetig auf ${\displaystyle I}$.

In der Theorie der optimalen Steuerungen wird gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
• Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987 (englisch).

1. Giuseppe Vitali: Opere sull'analisi reale e complessa. Edizioni Cremonese, Bologna 1984
2. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 281.