Außenballistik

Änderung der Schussweite bei Schießen mit Geländewinkel

Liegt das Ziel auf einer anderen Höhe als der Abschusspunkt, muss bei gleicher horizontaler Distanz der Abschusswinkel angepasst werden. Bei höher liegenden Zielen muss der Aufsatzwinkel bzw. die Anfangsgeschwindigkeit vergrößert werden, bei tiefer liegenden Zielen verringert.
In der Illustration ist ${\displaystyle \gamma }$ der Abschusswinkel ausgehend von der Horizontalen, ${\displaystyle \theta }$ der Winkel zum Ziel. Die Schussweite ${\displaystyle s_{1}}$ im luftleeren Raum ergibt sich aus[1]:
${\displaystyle s_{1}={\frac {2\cdot {v_{0}}^{2}}{g}}\cdot {\frac {\cos \theta \cdot \sin \left(\theta -\gamma \right)}{\cos ^{2}\gamma }}}$

Für die Berechnung der Bahnelemente eines Geschosses sind Kenntnisse über die Physik der Atmosphäre notwendig. Grundlage aller aerodynamischen Berechnungen in der Ballistik ist eine Modellatmosphäre, für die die Höhenabhängigkeit ihrer Eigenschaften mathematisch formuliert wird. Die mathematische Beschreibung der Modellatmosphäre basiert auf den Daten der wissenschaftlichen Erforschung der Erdatmosphäre, wie sie seit langem mit Luft- und Raumfahrzeugen durchgeführt wird. Ziel ist es, für jede Höhe die Beziehungen und Abhängigkeiten der atmosphärischen Parameter durch mathematische Formeln darstellbar zu machen. Für die Ballistik sind Parameter von Interesse, die den Luftwiderstand eines Geschosses mitbestimmen. Das sind Luftdichte und Luftdruck sowie die Schallgeschwindigkeit und der Einfluss der Luftfeuchte auf diese Größen. Bei hohen Bahnen ist auch die Abnahme der Fallbeschleunigung mit zunehmender Höhe zu berücksichtigen.

Aufbauend auf den Gesetzmäßigkeiten der Modellatmosphäre wird eine Standardatmosphäre festgelegt, für die diese Gesetzmäßigkeiten auf konkrete Zahlenwerte angewendet werden. Für die Standardatmosphäre werden in der Regel die Zahlenwerte der atmosphärischen Parameter in Bodennähe festgelegt und deren Höhenabhängigkeit gemäß den Vorgaben der Modellatmosphäre ermittelt. Die Parameter umfassen:

• Lufttemperatur am Boden
• Luftdruck am Boden
• Luftdichte am Boden (die sich aus ihnen und der Luftzusammensetzung ergibt)
• Schallgeschwindigkeit am Boden
• Fallbeschleunigung am Boden
• Adiabatenexponent am Boden
• Molare Masse der Luft am Boden
• dynamische Zähigkeit der Luft am Boden
• mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle am Boden
• Erdradius

Zur Berechnung der Luftdichte werden die 1952 von der ICAO eingeführten Modelle für die Normalatmosphäre benutzt,[1] die es erlauben, sowohl den aktuellen Luftdruck sowie die Höhe über mittlerem Meeresniveau entsprechend in den Berechnungen zu berücksichtigen.

Es werden international verschiedene Standardatmosphären für ballistische Berechnungen genutzt, wobei auch an bestimmte Einsatzfelder und klimatische Bedingungen angepasste artilleristische Normalatmosphären verwendet werden, die zum Teil einige der Parameter aus praktischen Gründen vernachlässigen.

Für schnelle, weitreichende Geschosse ergeben sich vor allem durch den Luftwiderstand erhebliche Abweichungen von der Wurfparabel. Ohne Luftwiderstand würde ein unter einem Winkel von 45° mit einer Mündungsgeschwindigkeit von 700 m/s abgefeuertes Geschoss etwa 50 km weit fliegen. Leichte Geschosse, wie etwa aus Büchsen, erreichen durch die Einwirkung des Luftwiderstands jedoch nur eine maximale Flugweite von 3 bis 4 km. Durch die starke Abbremsung erreichen Büchsengeschosse ihre maximale Schussweite nicht beim theoretisch optimalen Abschusswinkel von 45°, sondern bei etwa 30 bis 35°,[2] und die noch leichteren Schrotkugeln von Flinten erreichen ihre maximale Flugweite bei Abschusswinkeln von 20 bis 30°.[3]

Die Geschosse weitreichender Geschütze durchqueren auf ihrer Bahn hohe Atmosphärenschichten, in denen der Luftwiderstand durch die geringere Luftdichte deutlich niedriger ist als in Bodennähe. Der Aufsatzwinkel des Geschützes muss in diesem Fall über 45° liegen, um zu erreichen, dass die Geschosse beim Erreichen der Höhenbereiche niedrigeren Luftwiderstands einen Winkel von 45° aufweisen, was nach dem parabolischen Modell optimal für das Erzielen einer maximalen Schussweite ist. Für reichweitenoptimierte Geschosse mit einer Mündungsgeschwindigkeit von 1000 bis 1500 m/s liegt der Abschusswinkel bei 50 bis 55°. Zwischen Anfangsgeschwindigkeit und optimalem Abschusswinkel besteht dabei ein komplizierter nichtlinearer Zusammenhang, so würde bei einer weiteren Steigerung der Anfangsgeschwindigkeit der Winkel für eine maximale Reichweite wieder sinken, da die dichten Luftschichten schneller durchflogen werden.[2]

Ein abgefeuertes Geschoss wird in der Atmosphäre von Luft umströmt, was zur Wirkung verschiedener Kräfte führt, die die Bahn des Geschosses beeinflussen. In erster Linie ist das der Luftwiderstand, der das Geschoss abbremst und zu einer Abweichung der Bahn von der Wurfparabel führt.

Geschosse wie Raketen, Pfeilgeschosse oder Flintenlaufgeschosse werden aerodynamisch stabilisiert. Bei diesen Geschossen liegt der aerodynamische Druckpunkt hinter dem Masseschwerpunkt. Kippen diese Geschosse in der Längsachse, werden sie durch den hinter dem Schwerpunkt liegenden Druckpunkt wieder ausgerichtet. Diese Geschosse besitzen Leitwerke oder ein leichtes Heck, wodurch der Druckpunkt nach hinten verschoben wird.

Bei den meisten Geschossen mit Drallstabilisierung liegt der Druckpunkt vor dem Masseschwerpunkt. Durch diese aerodynamische Instabilität entsteht ein Kippmoment nach hinten, so dass sie sich ohne Drall nach dem Verlassen des Laufes überschlagen würden. Durch den Drall werden sie ähnlich einem auf der Spitze stehenden Kreisel durch Kreiselkräfte stabilisiert.

Diese Geschosse verlassen den Lauf nicht exakt in Flugrichtung ausgerichtet, sondern mit einem geringen Anstellwinkel. Folge des Anstellwinkels sind Kräfte, die quer zur Luftwiderstandskraft wirken. Zum einen ist das eine Auftriebskraft, die in der Ebene des Anstellwinkels wirkt, zum anderen erzeugt der Drall durch den Magnus-Effekt eine Querkraft, die senkrecht zu dieser Ebene wirkt. Die Auftriebskraft wirkt immer in Richtung des Anstellwinkels, kann also bei entsprechender Ausrichtung des Anstellwinkels auch nach unten gerichtet sein. Die Querkräfte bewirken eine seitliche Ablenkung des Geschosses in Drallrichtung, also nach rechts bei Rechtsdrall. Bei Artilleriegeschossen können die Querkräfte zu einer seitlichen Beschleunigung von 0,15 bis 0,25 m/s² führen, wobei dieser Wert mit wachsender Flugdauer abnimmt.[4]

Überproportionaler Anstieg von Masse m und Querschnittsbelastung Q bei Erhöhung des Kalibers

Obwohl aus Geschützen abgefeuerte schwere Geschosse den gleichen aerodynamischen Einflüssen unterliegen und in der Regel mit Handfeuerwaffen vergleichbare Mündungsgeschwindigkeiten aufweisen, erreichen sie deutlich größere maximale Schussweiten von etwa 20 bis 40 km. Die Ursache hierfür liegt in der Querschnittsbelastung der Geschosse. Steigt das Kaliber eines Geschosses, steigt die Querschnittsfläche quadratisch zum Durchmesser. Gleichzeitig steigt jedoch das Volumen des Geschosses proportional zur dritten Potenz des Durchmessers, und damit steigt seine Masse ebenfalls proportional zur dritten Potenz. Bei gleicher Geschossform und -dichte bewirkt eine Verzehnfachung des Kalibers eine Vertausendfachung der Masse und eine Verhundertfachung der Querschnittsbelastung. Dadurch, dass die auf die Querschnittsfläche wirkende Gewichtskraft stärker steigt als der durch die Kalibererhöhung steigende Luftwiderstand, wird das Geschoss langsamer abgebremst.

Neben der Querschnittsbelastung ist der Luftwiderstandsbeiwert (${\displaystyle c_{W}}$-Wert) entscheidend für die Reichweite eines Geschosses. Geschosse moderner Waffen erreichen Geschwindigkeiten vom hohen Unterschall- bis in den hohen Überschallbereich. Vor allem im Bereich der Schallgeschwindigkeit (um Mach 1) steigt der ${\displaystyle c_{W}}$-Wert durch die Entstehung einer Bugwelle aus komprimierter Luft steil an (Wellenwiderstand). Dieser Bereich komprimierter Luft erzeugt einen Überschallknall. Bei höheren Geschwindigkeiten nimmt der ${\displaystyle c_{W}}$-Wert wieder ab, wobei der Anteil des Wellenwiderstands am Gesamtwiderstand bis über 70 % liegt. Für die Berechnung des Luftwiderstandes eines Überschallgeschosses werden die ${\displaystyle c_{W}}$-Werte der Geschossspitze, des Geschosskörpers, des Heckkonus’ und des Hecksoges getrennt betrachtet und addiert.[5]

Die Abhängigkeit des ${\displaystyle c_{W}}$-Wertes von der Geschwindigkeit (${\displaystyle c_{W}}$ als Funktion von ${\displaystyle v}$) muss bei der Berechnung der Bahnelemente eines Geschosses berücksichtigt werden. In der Regel wird diese Funktion nicht für jeden Geschosstyp neu ermittelt, sondern ein Standard-Luftwiderstandsgesetz verwendet, das dann mittels eines Formkoeffizienten für den jeweiligen Geschosstyp korrigiert wird.

Für den Überschallbereich ausgelegte Geschosse wie moderne Langgeschosse bzw. Artilleriegranaten besitzen oft ogival geformte Spitzen. Die ogivale Spitze ist für Überschallflugkörper am strömungsgünstigsten. Ein ogivales Heck ist bei Rohrwaffen konstruktiv nicht umsetzbar, so dass das Heck meist nur als Kegelstumpf (Heckkonus) ausgeformt ist, um die Abbremsung durch den Hecksog zu vermindern.

Für die Berechnung der Reichweite wird aus Luftwiderstandsbeiwert und Gewicht eines Geschosses auch ein Ballistischer Koeffizient ermittelt. In der Ballistik gibt es mehrere Definitionen des Ballistischen Koeffizienten, was bei Berechnungen, die auf diesem Wert aufbauen, berücksichtigt werden muss.[6]

Eine Geschossbahn in der Atmosphäre besitzt bei Abschusswinkeln zwischen 0 und 90° ebenfalls eine vertikale und eine horizontale Komponente.

Horizontale Komponente u und vertikale Komponente w der Geschossbewegung (Weg s und Höhe h)

Die Geschwindigkeitskomponenten ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle w}$ errechnen sich aus dem Abschusswinkel ϑ und der Geschwindigkeit v:
${\displaystyle u=v\cdot \cos \vartheta }$
${\displaystyle w=v\cdot \sin \vartheta }$
Während beim Schuss im Vakuum die horizontale Komponente der Geschwindigkeit konstant bleibt (gleichförmige Bewegung), sinkt sie beim Schuss unter Einfluss des Luftwiderstandes monoton ab, auch wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente nach dem Geschwindigkeitsminimum wieder zunimmt. Der fallende Abschnitt der Geschossbahn ist daher grundsätzlich steiler als der steigende. Der horizontale Geschwindigkeitsanteil folgt dabei der Geschwindigkeit eines waagerecht fliegenden Geschosses, dessen Geschwindigkeit durch den Luftwiderstand ständig abnimmt. Analog folgt der Verlauf der vertikalen Geschwindigkeitskomponente dem eines Projektils, das mit dem anteiligen Geschwindigkeitswert der vertikalen Komponente senkrecht nach oben geschossen wurde.

Nach Überschreiten des Bahngipfels können Geschosse eine Grenzgeschwindigkeit erreichen, wobei sich ein Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der Luftwiderstandskraft einstellt.

Bei Flugbahnen im Vakuum tritt das Minimum der Geschossgeschwindigkeit im Bahngipfel auf, bei Flugbahnen in Luft erst nach dem Bahngipfel, da die Abbremsung durch den Luftwiderstand zunächst die Geschwindigkeitszunahme durch die Fallbeschleunigung überwiegt. Bei flachen Bahnen kann das Geschoss darum das Ziel vor Eintreten dieses Minimums erreichen, so dass die Geschossgeschwindigkeit bis zum Ziel ohne erneuten Anstieg nach dem Bahngipfel permanent sinkt.[7]

Für genauere Berechnungen werden in der Ballistik weitere Werte genutzt und verschiedene Störfaktoren genauer betrachtet.[8]

Diese Störfaktoren sind vor allem Änderungen der atmosphärischen Bodenwerte, Abweichungen der höhenabhängigen Verläufe (Gradienten) der atmosphärischen Parameter von der Normalatmosphäre, Windeinflüsse und auch Wettereinflüsse wie Regen oder Schneefall. Bei weitreichenden Bahnen muss der Einfluss der Erdkrümmung und der Erddrehung in die Berechnung einbezogen werden.

Für die Berechnung der Bahnabweichungen durch die atmosphärischen Störfaktoren existieren keine exakten mathematischen Modelle, so dass nur Näherungslösungen möglich sind. Bevor leistungsfähige computergestützte Feuerleitrechner zur Verfügung standen, wurden die Richtdaten der Geschütze über Schusstafeln ermittelt und korrigiert. Ausgehend von den festen Parametern Anfangsgeschwindigkeit, Abschusswinkel und einem Geschossparameter wie dem ballistischen Koeffizienten werden dabei abhängig von den auftretenden Abweichungen die Richtdaten aus den Schusstafeln entnommen.

Je größer die Schussweite ist, desto größeren Einfluss bekommt die Höhenabhängigkeit der atmosphärischen Parameter. Luftdruck, Luftdichte und Lufttemperatur und damit auch die Schallgeschwindigkeit verändern sich mit zunehmender Höhe. All diese Eigenschaften sind bestimmend für den Luftwiderstand eines Geschosses, und die Kenntnis ihres höhenabhängigen Verlaufes wesentlich für die Vorhersage der Flugbahnelemente. Daneben hat auch die Luftfeuchte Einfluss auf den Druckverlauf und die Schallgeschwindigkeit.

Oberhalb von etwa 90 km verändern sich die Eigenschaften der Atmosphäre durch die zunehmende mittlere freie Weglänge dahingehend, dass die Atmosphäre nicht mehr als ideales Gas wirkt und grundlegende Gesetze der Strömungslehre nicht mehr angewandt werden können. Betrachtungen zu Geschossbahnen in solchen Höhen sind vor allem Gegenstand der Raketenballistik.

Beim Abwurf freifallender, ungelenkter Bomben aus Flugzeugen ist für ein Treffen des Ziels vor allem der Zeitpunkt des Ausklinkens der Bombe für die Treffsicherheit entscheidend. Dieser Zeitpunkt ist abhängig von der Höhe ${\displaystyle h}$ und der Fluggeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$ des Flugzeuges. Je schneller und höher das Flugzeug fliegt, in desto größerer Distanz vor dem Ziel muss die Bombe ausgeklinkt werden. Beim Abwurf aus dem Horizontalflug folgt die Falldauer ${\displaystyle t_{F}}$ unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes aus dem Fallgesetz, ${\displaystyle g}$ ist die Fallbeschleunigung, die als konstant angenommen wird:

${\displaystyle t_{F}={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}}$

Die Distanz ${\displaystyle s_{D}}$, die die Bombe bis zum Auftreffen über dem Boden zurücklegt, ergibt sich in diesem Fall aus:

${\displaystyle s_{D}=v_{0}\cdot {\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}}$

Die Bombe muss in dieser Distanz vor dem Ziel abgeworfen werden.

Die Berechnung der Bahnelemente von Bomben kann vereinfacht werden, wenn als zusätzlicher Parameter ${\displaystyle par}$ das Verhältnis aus der potentiellen Energie ${\displaystyle W_{p}}$ und der kinetischen Energie ${\displaystyle W_{k}}$ der Bombe im Moment des Abwurfes ermittelt wird. Die Bombe mit der Masse ${\displaystyle m}$ befindet sich im Flugzeug in der Höhe ${\displaystyle h}$ über dem Boden. Die potentielle Energie ergibt sich aus:

${\displaystyle W_{p}=m\cdot g\cdot h}$

Durch die Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ des Flugzeuges erhält die Bombe eine kinetische Energie:

${\displaystyle W_{k}={\frac {m\cdot v^{2}}{2}}}$

Der Parameter ${\displaystyle par}$ ist der Quotient aus beiden Werten:

${\displaystyle par={\frac {W_{p}}{W_{k}}}}$

Der Tangens des Auftreffwinkels ${\displaystyle \vartheta _{Z}}$ der Bombe bei Abwurf aus horizontalem Flug kann mit Hilfe dieses Parameters einfach ermittelt werden:

${\displaystyle \tan \vartheta _{Z}={\sqrt {par}}}$

Bombenauslösung bei Vorhaltewinkel φ

Im Fall einer rein optischen Zielerfassung ermittelt der Bombenschütze nicht die Entfernung zum Ziel, in der er die Bombe auslösen muss, sondern misst den Winkel zwischen Flugzeug und dem Ziel, bis dieser Winkel dem der Höhe und Geschwindigkeit angemessenen Vorhaltewinkel ${\displaystyle \phi }$ entspricht. Der Tangens des Vorhaltewinkels ergibt sich aus:

${\displaystyle \tan {\varphi }={\frac {h}{s_{D}}}={\frac {h}{v_{0}}}\cdot {\sqrt {\frac {g}{2h}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {par}}}$

Bei einem Abwurf aus dem Steigflug mit dem Winkel ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ergeben sich umfangreichere Formeln.
Die Zeit ${\displaystyle t_{G}}$ vom Abwurf der Bombe bis zum Erreichen des Bahngipfels ergibt sich aus:
${\displaystyle t_{G}={\frac {v_{0}\cdot \sin {\vartheta _{0}}}{g}}}$

Die Flugzeit ${\displaystyle t_{F}}$ ergibt sich aus:
${\displaystyle t_{F}=t_{G}\cdot \left(1+{\sqrt {1+{\frac {par}{\sin ^{2}\vartheta _{0}}}}}\right)}$

Der Weg ${\displaystyle s_{G}}$ bis zum Bahngipfel ergibt sich aus:
${\displaystyle s_{G}={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}\cdot \sin 2\vartheta _{0}}$

Die horizontale Wurfdistanz ${\displaystyle s_{D}}$ ergibt sich aus:
${\displaystyle s_{D}=s_{G}\left(1+{\sqrt {1+{\frac {par}{\sin ^{2}\vartheta _{0}}}}}\right)}$