Ungleichung

Ungleichungen können umgekehrt werden:

${\displaystyle ({T_{1}}\leq {}{T_{2}})\Leftrightarrow ({T_{2}}\geq {}{T_{1}})\,.}$

Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Für beliebige reellwertige Terme ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$ und ${\displaystyle T_{4}}$ gilt:

• Es ist ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{3}}$.
• Es ist ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle T_{1}-T_{3}<T_{2}-T_{3}}$.

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung ${\displaystyle 5x<4x+7}$ durch Subtraktion des Terms ${\displaystyle 4x}$ auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung ${\displaystyle x<7}$.

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Addition auch noch weitere Regeln:

• Aus ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}<T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}\leq T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}<T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}\leq T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}\leq T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}\leq T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}+T_{3}\leq T_{2}+T_{4}}$.

Regel ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

Regel ${\displaystyle a<0\land x<y\Rightarrow ax>ay}$

Für beliebige Terme ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}}$ gilt:

• Aus ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ folgt ${\displaystyle -T_{1}>-T_{2}}$.
• Aus ${\displaystyle 0<T_{1}<T_{2}}$ folgt ${\displaystyle 0<1/T_{2}<1/T_{1}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{3}>0}$ und ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}<T_{2}T_{3}}$ und ${\displaystyle T_{1}/T_{3}<T_{2}/T_{3}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{3}<0}$ und ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}>T_{2}T_{3}}$ und ${\displaystyle T_{1}/T_{3}>T_{2}/T_{3}}$.

Hier gilt demnach folgende Merkregel:

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

So sind zum Beispiel die Ungleichungen ${\displaystyle -3x<12}$ und ${\displaystyle x>-4}$ äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch ${\displaystyle -3}$ erkennt.

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Multiplikation innerhalb der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{>0},\cdot )}$ der positiven reellen Zahlen auch noch weitere Regeln:

• Aus ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}<T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}<T_{2}T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}\leq T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}<T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}<T_{2}T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}<T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}\leq T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}<T_{2}T_{4}}$.
• Aus ${\displaystyle T_{1}\leq T_{2}}$ und ${\displaystyle T_{3}\leq T_{4}}$ folgt ${\displaystyle T_{1}T_{3}\leq T_{2}T_{4}}$.

Durch Anwenden einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung erhält man wieder eine Ungleichung mit derselben Lösungsmenge wie die Ausgangs-Ungleichung.

Ähnlich wie bei den Monotoniegesetzen allerdings muss auch hier unter Umständen das Vergleichszeichen gedreht werden. Wendet man nämlich eine streng monoton wachsende Funktion auf beide Seiten an, ändert sich das Vergleichszeichen dadurch nicht, wohl aber, wenn man eine streng monoton fallende Funktion benutzt: In diesem Fall muss das Vergleichszeichen ${\displaystyle <}$ dann durch das entsprechend umgekehrte Zeichen ${\displaystyle >}$ ersetzt werden, analog das Vergleichszeichen ${\displaystyle \leq }$ durch das ${\displaystyle \geq }$-Zeichen und umgekehrt.

Der natürliche Logarithmus ${\displaystyle \ln }$ und die Wurzelfunktion ${\displaystyle \surd }$ sind streng monoton wachsende Funktionen und können daher, ohne dass man dabei die Vergleichszeichen drehen müsste, zur Umformung von Ungleichungen verwendet werden. Seien ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ zwei Terme, gilt dann dementsprechend zum Beispiel

${\displaystyle 0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow \ln(T_{1})<\ln(T_{2})\Leftrightarrow {\sqrt {T_{1}}}<{\sqrt {T_{2}}}\,.}$

Vorsicht dagegen ist geboten, wenn es sich um Exponentialfunktionen handelt, die je nach ihrer Basis ${\displaystyle a}$ streng monoton steigend, aber auch fallend sein können:

${\displaystyle 0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow a^{T_{1}}<a^{T_{2}}\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a>1,\ aber:}}\quad a^{T_{1}}>a^{T_{2}}\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a<1}}.}$

Gleiches gilt für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle 0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow \log _{a}(T_{1})<\log _{a}(T_{2})\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a>1,\ aber:}}\quad \log _{a}(T_{1})>\log _{a}(T_{2})\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a<1}}.}$

Zum Beispiel:

${\displaystyle 0<0{,}8^{n}\leq 0{,}05\quad {\mathtt {aber:}}\quad n\,\geq \,\log _{0,8}(0{,}05)\quad {\mathtt {bzw.}}\quad n\,\geq \,{\frac {\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}}}$

${\displaystyle \log _{0{,}8}(0{,}05)\approx 13{,}43;\quad n\geq 13{,}43}$

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite ${\displaystyle c}$. Das heißt formal ${\displaystyle c\leq a+b}$.

Diese Ungleichung kann für viele mathematische Objekte verallgemeinert werden. Beispielsweise ist die Ungleichung

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

für die Betragsfunktion eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt für alle reellen Zahlen. Sie trägt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung. Diese Ungleichung kann auch für Betrag komplexer Zahlen oder für Integrale verallgemeinert werden (siehe Minkowski-Ungleichung).

Sei ${\displaystyle V}$ Prähilbertraum also ein Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ und seien ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ Elemente aus ${\displaystyle V}$, dann gilt immer die Ungleichung

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle \,.}$

Gleichheit gilt genau dann, wenn ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ linear abhängig sind. Vektorräume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf. Daher ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung, beispielsweise wird sie in der linearen Algebra, der Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper, jedoch ist es nicht möglich eine Relation ≤ so zu wählen, dass ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ zu einem geordneten Körper wird. Das heißt, es ist nicht möglich, dass eine Relation auf ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ sowohl das Trichotomie-, das Transitivitäts- und das Monotoniegesetz erfüllt. Jedoch wird manchmal eine Relation, die durch

${\displaystyle x<y:\Leftrightarrow \operatorname {Re} (x)<\operatorname {Re} (y)\lor \left(\operatorname {Re} (x)=\operatorname {Re} (y)\land \operatorname {Im} (x)<\operatorname {Im} (y)\right)}$

definiert ist, betrachtet. Hierbei bezeichnen ${\displaystyle x,y}$ komplexe Zahlen und ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ den Realteil beziehungsweise ${\displaystyle \operatorname {Im} }$ den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Diese Definition der Relation erfüllt das Trichotomie- und das Transitivitätsgesetz.[8]

Auch für Spaltenvektoren ist es möglich Relationen zu definieren. Seien ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ zwei Spaltenvektoren mit ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}}$ und ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{T}}$ wobei ${\displaystyle x_{i}}$ and ${\displaystyle y_{i}}$ reelle Zahlen sind. Relationen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kann man dann beispielsweise durch

${\displaystyle x<y:\Leftrightarrow i=1,\ldots ,n:\ x_{i}<y_{i}}$

und durch

${\displaystyle x\leq y:\Leftrightarrow i=1,\ldots ,n:\ x_{i}\leq y_{i}}$

definieren. Analog kann man auch die Relationen ≥ und > erklären. Hier ist es allerdings nicht möglich, alle Elemente miteinander zu vergleichen. Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhältnis zwischen den Elementen ${\displaystyle x:=(2,5)^{T}}$ und ${\displaystyle y:=(3,4)^{T}}$ beschreiben.

• Ist ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, so definiert man ${\displaystyle A>0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A}$ positiv definit ist. Sind ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, so gilt ${\displaystyle A>B}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A-B>0}$. Ähnlich können auch ${\displaystyle <}$ oder ${\displaystyle \leq ,\geq }$ (semidefinit) definiert werden.
• Sei ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ ein reeller Banachraum und ${\displaystyle K\subseteq E}$ ein Kegel. Sind ${\displaystyle x,y\in E}$, so gilt ${\displaystyle x\leq y}$ genau dann, wenn ${\displaystyle y-x\in K}$.