Abgeschlossener Punkt

Der abgeschlossene Punkt ist ein Begriff der mengentheoretischen Topologie, der aber vor allem in der algebraischen Geometrie von Bedeutung ist.

Definition

Ein abgeschlossener Punkt in einem topologischen Raum $X$ ist ein Punkt $x\in X$ , so dass die ein-elementige Teilmenge $\left\{x\right\}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ ist.

Abgeschlossene Punkte in der algebraischen Geometrie

In der Zariski-Topologie einer algebraischen Varietät $\operatorname {Spec} (R)$ entsprechen die abgeschlossenen Punkte den Maximalidealen von $R$ .

Beispielsweise entsprechen die vom Nullideal $\{0\}$ verschiedenen Primideale, das heißt die von den Primzahlen erzeugten Hauptideale, den abgeschlossenen Punkten in $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ . Das Nullideal ist zwar auch ein Primideal, aber kein abgeschlossener Punkt.

T1-Räume

Ein topologischer Raum ist genau dann ein T₁-Raum, wenn alle Punkte abgeschlossene Punkte sind.

Weblinks

closed point (nLab)

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