Abgeschlossene Immersion

Eine abgeschlossene Immersion von lokal geringten Räumen ist ein Morphismus lokal geringter Räume ${\displaystyle (f,f^{\sharp }):(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$, sodass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind: [1]

• ${\displaystyle f(X)}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle f}$ ist ein Homöomorphismus auf ${\displaystyle f(X)}$.
• Der Garbenmorphismus ${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ist ein surjektiver Garbenmorphismus.
• Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ gibt es eine offene Umgebung ${\displaystyle U\subset X}$ von ${\displaystyle x}$, eine Menge ${\displaystyle I}$ und einen surjektiven Morphismus von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$-Modulgarben ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}{\mathcal {O}}_{X}|_{U}\to \ker(f^{\sharp })|_{U}}$.

Eine abgeschlossene Immersion von Schemata ist ein Morphismus von Schemata ${\displaystyle (f,f^{\sharp }):(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$, der eine abgeschlossene Immersion lokal geringter Räume ist.[2]

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:[3]

• ${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ ist eine abgeschlossene Immersion von Schemata.
• ${\displaystyle f}$ ist ein Homöomorphismus auf eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle f^{\sharp }}$ ist ein surjektiver Garbenmorphismus.
• Es existiert eine offene Überdeckung von ${\displaystyle Y}$ durch affine offene Teilmengen ${\displaystyle U_{i}}$, d. h. ${\displaystyle (U_{i},{\mathcal {O}}_{Y}|_{U_{i}})\cong \mathrm {Spec} (A_{i})}$ für einen kommutativen Ring ${\displaystyle A_{i}}$, und für jedes ${\displaystyle i}$ ein Ideal ${\displaystyle I_{i}\subset A_{i}}$, sodass das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ als Schema über ${\displaystyle U_{i}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A_{i}/I_{i})}$ ist.
• Für jede offene affine Teilmenge ${\displaystyle U\subset Y}$ mit ${\displaystyle U\cong \mathrm {Spec} (A)}$ existiert ein Ideal ${\displaystyle I\subset A}$, sodass ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ als Schema über ${\displaystyle U}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A/I)}$ ist.

Eine abgeschlossene Immersion anzugeben ist eine von mehreren Möglichkeiten ein abgeschlossenes Unterschema zu definieren.

1. Die Definition im Stacks Project setzt sich aus drei Einzeldefinitionen zusammen:
   • Abgeschlossene Immersion lokal geringter Räume: 01HK
   • Lokal erzeugte Modulgarbe: 01B2
   • Global erzeugte Modulgarbe: 01AM
2. Abgeschlossene Immersion von Schemata: 01IO
3. Charakterisierung von abgeschlossenen Immersionen von Schemata: 01QO