Abelsche partielle Summation

Es seien ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ reelle Zahlen. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})}$

mit

${\displaystyle A_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}.}$

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Ist ${\displaystyle (b_{k})}$ eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \ldots \geq b_{n}>0,}$

und sind die Zahlen ${\displaystyle a_{k}}$ beliebig reell (oder komplex), so gilt

${\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leq b_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|A_{k}|.}$

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,}$

die für eine bestimmte positive reelle Zahl ${\displaystyle x=x_{0}}$ konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl ${\displaystyle x<x_{0}}$ konvergent ist und auf ${\displaystyle 0<x<x_{0}}$ eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

${\displaystyle a_{m}x^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\ldots ={\Big (}{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m}\cdot a_{m}x_{0}^{m}+{\Big (}{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m+1}\cdot a_{m+1}x_{0}^{m+1}+\ldots ,}$

und da ${\displaystyle (x/x_{0})^{k}}$ eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

${\displaystyle {\bigg |}{\frac {x}{x_{0}}}{\bigg |}^{m}\cdot \sup _{k\geq m}{\bigg |}\sum _{\nu =m}^{k}a_{\nu }x_{0}^{\nu }\,{\bigg |}}$

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes ${\displaystyle m}$ beliebig klein.

• H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, 9. Aufl., Stuttgart 1991. ISBN 3-519-22231-0
• Niels Henrik Abel, Untersuchungen über die Reihe

${\displaystyle \textstyle 1+{\frac {m}{1}}\cdot x+{\frac {m\,\cdot \,(m-1)}{1\,\cdot \,2}}\cdot \,x^{2}+{\frac {m\cdot \,(m-1)\,\cdot \,(m-2)}{1\,\cdot \,2\,\cdot \,3}}\cdot \,x^{3}+\ldots }$,

J. Reine Angew. Math. 1 (1826) 311–331

Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Abelsche Ungleichung