Abelsche Von-Neumann-Algebra

• Die Algebra der Diagonalmatrizen auf dem endlichdimensionalen Hilbertraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die offenbar zur Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ mit der komponentenweisen Multiplikation isomorph ist. Die Unteralgebra der konstanten Vielfachen der Einheitsmatrix ist ebenfalls eine abelsche Von-Neumann-Algebra.
• Der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ mit der komponentenweisen Multiplikation ist die unendlichdimensionale Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese abelsche Von-Neumann-Algebra operiert auf dem Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$.
• Ist ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesguemaß auf dem Einheitsintervall [0,1], so definiert jede Funktion ${\displaystyle f\in L^{\infty }([0,1],\lambda )}$ durch die Formel ${\displaystyle M_{f}(\xi ):=f\cdot \xi }$ einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle M_{f}:L^{2}([0,1],\lambda )\rightarrow L^{2}([0,1],\lambda )}$. Die Algebra ${\displaystyle \{M_{f};f\in L^{\infty }([0,1],\lambda )\}}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die man einfach mit ${\displaystyle L^{\infty }[0,1]}$ bezeichnet.

Das obige Beispiel der ${\displaystyle L^{\infty }}$ ist bis auf Isomorphie bereits der allgemeinste Fall. Es gilt[1]:

Ist ${\displaystyle A}$ eine abelsche Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so gibt es einen lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ und ein positives Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle X}$ mit Träger ${\displaystyle X}$, so dass ${\displaystyle A}$ isomorph zu ${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$ ist. Isomorphie bedeutet dabei isometrische *-Isomorphie. Ist der Hilbertraum ${\displaystyle H}$ separabel, so kann man ${\displaystyle X}$ als kompakten, metrischen Raum wählen.

Ist umgekehrt ${\displaystyle (X,\mu )}$ ein Maßraum mit lokalkompaktem ${\displaystyle X}$, so definiert jede Funktion ${\displaystyle f\in L^{\infty }(X,\mu )}$ durch die Formel ${\displaystyle M_{f}(\xi ):=f\cdot \xi }$ einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle M_{f}:L^{2}(X,\mu )\rightarrow L^{2}(X,\mu )}$. Die Algebra ${\displaystyle A=\{M_{f};f\in L^{\infty }(X,\mu )\}}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die isomorph zu ${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$ ist. ${\displaystyle A}$ ist maximal unter allen abelschen Von-Neumann-Algebren auf ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$.

Die Isomorphisklassen der abelschen Von-Neumann-Algebren über einem separablen Hilbertraum lassen sich vollständig überblicken; beschränkt man sich auf maximale Von-Neumann-Algebren, so kann man Isomorphie sogar durch unitäre Äquivalenz ersetzen.[2]

Es seien ${\displaystyle A_{n}\subset L(\mathbb {C} ^{n})}$ die zu ${\displaystyle C^{n}}$ und ${\displaystyle A_{\infty }}$ die zu ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ isomorphe Von-Neumann-Algebren aus obigen Beispielen. Jede maximale abelsche Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum ist unitär äquivalent zu genau einer der Algebren

• ${\displaystyle A_{n},\quad 1\leq n\leq \infty }$
• ${\displaystyle L^{\infty }[0,1]}$
• ${\displaystyle A_{n}\oplus L^{\infty }[0,1],\quad 1\leq n\leq \infty }$

Dabei heißen zwei Von-Neumann-Algebren ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle B}$ über ${\displaystyle K}$ unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator ${\displaystyle u:H\rightarrow K}$ gibt, so dass ${\displaystyle a\mapsto uau^{*}}$ ein Isomorphismus ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ist.

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind insbesondere kommutative C*-Algebren und als solche nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra ${\displaystyle C(X)}$ stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. ${\displaystyle X}$ ist ein extremal unzusammenhängender Raum. Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume ${\displaystyle X}$, so dass die Algebra ${\displaystyle C(X)}$ nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.[3]

Ist ${\displaystyle a\in L(H)}$ ein selbstadjungierter, beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so ist die von ${\displaystyle a}$ erzeugte Von-Neumann-Algebra abelsch und enthält sämtliche Spektralprojektionen von ${\displaystyle a}$. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind daher ein natürlicher Rahmen zur Entwicklung der Spektraltheorie, was sich auch auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren ausdehnen lässt. Dieses Programm wird konsequent in [4] ausgeführt.

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind Typ I Von-Neumann-Algebren.

1. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.7.3: Structure of abelian von Neumann algebras
2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Theorem 9.4.1
3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, 5.7.21.
4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Kapitel 5.2 und 5.6