Abelsche Integralgleichung

Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art. Sie hat die Form:

f(h)=\int _{0}^{h}{\frac {u(y)}{\sqrt {h-y}}}\,\mathrm {d} y

.

wobei $f$ vorgegeben und $u$ die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

f(h)=\int _{0}^{h}u(y)K(h,y)\mathrm {d} y

definiert mit einer Kernfunktion $K$ . Speziell für Kernfunktionen $K$ der Form

K(h,y)={\frac {1}{{(h-y)}^{a}}}

mit $0<a<1$ gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die Eulersche Betafunktion. Es ergibt sich:

u(y)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{0}^{y}{(y-x)}^{(a-1)}f(x)\mathrm {d} x

Bei der abelschen Integralgleichung ist $a={\tfrac {1}{2}}$ .

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für $0<a<1$ ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen $f$ und $u$ wird auch als Abel-Transformation bezeichnet, das heißt $f$ ist die Abel-Transformierte von $u$ . Die durch die erwähnte Lösungsmethode für $0<a<1$ gelieferte Formel für $u$ ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.

Anwendung und Geschichte

Niels Henrik Abel untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen, und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem. Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt. Abel betrachtete einen Körper, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von $P1(x_{0},y_{0})$ nach (0,0) bewegt.

Ausgehend von der klassischen Formel für Geschwindigkeit[1]

v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=-{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}

kommt man durch Integration über die Strecke auf die Fallzeit

T(y_{0})=\int _{0}^{l}{\frac {\mathrm {d} s}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}

.

Durch die Substitution $s=f(y)\,\Rightarrow \,f'(y)=\mathrm {d} s/\mathrm {d} y\,\Rightarrow \,\mathrm {d} s=f'(y)\cdot \mathrm {d} y$ zu der endgültigen Form:

T(y_{0})={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {f'(y)}{\sqrt {y_{0}-y}}}\,\mathrm {d} y

.

Kennt man die Kurve $f(y)$ , erhält man so die Fallzeit. Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem: ist die Fallzeit vorgegeben, erhält man eine abelsche Integralgleichung für die unbekannte Funktion $f'(y)$ .

Weitere Anwendungen der abelschen Integralgleichung bzw. der Abel-Transformation gibt es in der Astrophysik, in der Geophysik (Herglotz-Wiechert-Methode der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung aus Ankunftszeiten von seismischen Wellen) und beispielsweise in der Bestimmung der Atmosphären-Daten von Planeten durch Radio-Okkultation. Wie in der ursprünglichen Anwendung sind das typische inverse Probleme.

Literatur

Rudolf Gorenflo, Sergio Vessella Abel Integral Equations – Analysis and Applications, Springer, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1461, 1991
Flügge Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, Springer Verlag, S. 130
Tricomi Integral Equations, Interscience, 1957, S. 39f
Rudolf Rothe Zur Abelschen Integralgleichung, Mathematische Zeitschrift, Band 33, 1931, Online

Weblinks

Eric W. Weisstein: Abel Transform. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Francesco Mainardi: Abel Integral Equations. In: Lecture Notes on Mathematical Physics. Department of Physics, University of Bologna, Februar 2012, S. 12, abgerufen am 11. Dezember 2023 (englisch).

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[1] Francesco Mainardi: Abel Integral Equations. In: Lecture Notes on Mathematical Physics. Department of Physics, University of Bologna, Februar 2012, S. 12, abgerufen am 11. Dezember 2023 (englisch).