Abel-Plana-Summenformel

Die erste Hauptformel besagt, dass folgende Beziehung zwischen Summenreihe und Integral[1] für alle Funktionen ${\displaystyle f(t)}$ gültig ist:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }f(n)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,\mathrm {d} t}$

Sie gilt für Funktionen f, die in der Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z>0}$ holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wächst.

Beispielsweise genügt folgende Annahme in diesem Gebiet für geeignete Konstanten C, ε > 0:

${\displaystyle |f(z)|<{\frac {C}{|z|^{1+\epsilon }}}}$

Frank W. J. Olver hat sogar nachgewiesen, dass die Formel unter viel schwächeren Bedingungen gültig ist.[2]

Für alternierende Summen gab Abel noch folgende Variante und somit die zweite Hauptformel an:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\,\sinh(\pi t)}}\,\mathrm {d} t.}$

Als Beispiel kann man die Hurwitzsche Zeta-Funktion einsetzen:

${\displaystyle \zeta (v;w)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+w)^{-v}={\frac {w^{1-v}}{v-1}}+{\frac {1}{2w^{v}}}+{\frac {2}{w^{v-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\bigl [}v\arctan(x){\bigr ]}}{{(x^{2}+1)}^{v/2}{\bigl [}\exp(2\pi wx)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} x}$

Anwendung findet die Hurwitzsche Zetafunktion beispielsweise in der Integration der Jacobischen Thetafunktion in ihrer Nicht-Nullwert-Form:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}\{\vartheta _{00}[\pi \,a;\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x=\Gamma (n+1)\zeta (2n+2)/\zeta (-2n-1){\bigl [}\zeta (-2n-1;a)+\zeta (-2n-1;1-a){\bigr ]}}$

Für die Riemannsche Zetafunktion, die Dirichletsche Lambdafunktion, die Dirichletsche Etafunktion und die Dirichletsche Betafunktion existieren folgende Abel-Plana-Formeln, welche im Folgenden tabellarisch zusammengefasst werden:

Name der Funktion	Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetafunktion	${\displaystyle \zeta (x)={\frac {x+1}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Lambdafunktion	${\displaystyle \lambda (x)={\frac {x}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Etafunktion	${\displaystyle \eta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Betafunktion	${\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}$

• Euler-MacLaurin-Summenformel

1. Abel, N.H.: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
2. Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0