Abbildungstorus

Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch ${\displaystyle f(x)=-x}$ definierten Abbildung ${\displaystyle f\colon \left[-1,1\right]\rightarrow \left[-1,1\right]}$.

Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S¹ mit Faser S¹ und Monodromie ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$ ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von ${\displaystyle f}$ ist definiert als Quotient

${\displaystyle T_{f}:=X\times \left[0,1\right]/\sim }$

von ${\displaystyle X\times \left[0,1\right]}$ bzgl. der Äquivalenzrelation ${\displaystyle (x,1)\sim (f(x),0)}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.

Der Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ kann als Quotientenraum ${\displaystyle S^{1}=\left[0,1\right]/\sim }$ mit ${\displaystyle 0\sim 1}$ aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor ${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]}$ ein Faserbündel

${\displaystyle p\colon T_{f}\rightarrow S^{1}}$.

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$ darstellbar. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.[2]

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei ${\displaystyle F(X)=\langle X\mid -\rangle }$ die von einer Menge ${\displaystyle X}$ erzeugte freie Gruppe und ${\displaystyle \phi \colon F(X)\rightarrow F(X)}$ ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

${\displaystyle T_{\phi }:=\langle t,X\mid t^{-1}xt=\phi (x)\ \forall x\in X\rangle }$.

1. Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
2. The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087