ADM-Masse

Sei ${\displaystyle M}$ eine asymptotisch flache Riemannsche Mannigfaltigkeit (also ein Raum, dessen Krümmungstensor im Unendlichen verschwindet) mit Metrik ${\displaystyle g}$. Dann ist die ADM-Masse gegeben durch

${\displaystyle m_{ADM}(M,g):=\lim _{R\to \infty }\,{\frac {1}{16\,\pi }}\sum _{\mu ,\nu =1,2,3}\,\,\int _{\partial K_{R}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\,g_{\nu \nu }-{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\,g_{\nu \mu }\right)\,\mathrm {d} n^{\mu }}$,

Dabei ist ${\displaystyle K_{R}}$ eine Kugel mit Radius ${\displaystyle R}$ und Oberfläche ${\displaystyle \partial K_{R}\,,}$ ${\displaystyle n}$ ist die nach außen zeigende Oberflächennormale.

Die ADM-Masse kann also aus metrischen Größen in großer Entfernung von der Materie bestimmt werden. Nach dem Positive-Masse-Theorem ist die ADM-Masse positiv, ${\displaystyle m_{ADM}>0\,,}$ wenn die schwache Energiebedingung erfüllt ist.

Für die Schwarzschild-Metrik ist die ADM-Masse ${\displaystyle m_{ADM}}$ gleich der Masse des schwarzen Lochs, die man am Schwarzschildradius abliest. Dabei ist überall, außer im Ursprung, Vakuum, das heißt dort verschwindet der Energie-Impuls-Tensor, also ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$.

• R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner: Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity, Phys. Rev. 122 (1961) 997–1006.
• Norbert Straumann: General Relativity. 2. Auflage. Springer Netherlands, Dordrecht 2013, ISBN 978-94-007-5409-6.
• Robert M. Wald: General Relativity. University of Chicago Press, Chicago 1984, ISBN 978-0-226-87033-5.