3-Mannigfaltigkeit

Der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist das einfachste Beispiel einer 3-Mannigfaltigkeit. Er ist nicht-kompakt und einfach zusammenhängend. Jede 3-Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Die euklidische Metrik auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist eine flache Metrik, das heißt ihre Schnittkrümmung ist konstant Null. Es gibt aber zahlreiche andere riemannsche Metriken auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Insbesondere ist der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ homöomorph zum hyperbolischen Raum, dessen Schnittkrümmung konstant −1 ist.

Die Hopf-Faserung von ${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \left\{\infty \right\}}$ über ${\displaystyle S^{2}}$: Punkte auf der 2-Sphäre haben dieselbe Farbe wie die über ihnen liegende Faser der 3-Sphäre.

Die 3-dimensionale Sphäre ist kompakt und einfach zusammenhängend. Die von Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass sie die einzige einfach zusammenhängende, geschlossene Mannigfaltigkeit ist. Sie also die einfachste geschlossene 3-Mannigfaltigkeit.

Die Einbettung als Einheitssphäre in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ stattet sie mit einer riemannschen Metrik aus, deren Schnittkrümmung konstant +1 ist.

Die Lie-Gruppe SU(2) ist diffeomorph zur 3-Sphäre.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ist eine zweifache Überlagerung von ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ und insbesondere isomorph zur Spingruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$, die mithin ebenfalls zur ${\displaystyle S^{3}}$ diffeomorph ist.

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist eine einfach zusammenhängende, nicht-kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die nicht zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ homöomorph ist, denn sie ist nicht „einfach zusammenhängend im Unendlichen“. Whitehead entdeckte sie als Gegenbeispiel zu einem Analogon der Poincaré-Vermutung für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten.

Den 3-dimensionalen Torus erhält man durch Identifizieren der gegenüberliegenden Seitenflächen eines Würfels, oder als Produktraum dreier Kreise.

Seine Fundamentalgruppe ist die freie abelsche Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$, seine universelle Überlagerung ist der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Der 3-Torus trägt flache Metriken, d. h. riemannsche Metriken der Schnittkrümmung konstant Null. Jede solche Metrik erhält man durch eine Realisierung des 3-Torus als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/L}$ für ein Gitter ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{3}}$. Der Modulraum solcher Gitter ist ${\displaystyle \operatorname {SL} (3,\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {SL} (3,\mathbb {R} )}$, der Modulraum der flachen Metriken ist ${\displaystyle \operatorname {SL} (3,\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {SL} (3,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (3)}$.

Der reell projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$ ist der Quotientenraum der Einheitssphäre bzgl. der Identifizierung ${\displaystyle x\sim -x}$ für alle ${\displaystyle x\in S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}}$. Er hat demzufolge die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, universelle Überlagerung ${\displaystyle S^{3}}$, und er ist eine sphärische Mannigfaltigkeit, d. h. er trägt eine riemannsche Metrik der Schnittkrümmung konstant 1.

Die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$ wirkt auf ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$.

Die Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ ist diffeomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$.

Die Poincaré-Homologiesphäre ist eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe die Ordnung 120 hat. Ihre Homologiegruppen sind isomorph zu denen der ${\displaystyle S^{3}}$.

Man konstruiert sie als Quotienten ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$, wobei ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {SU} (2)=S^{3}}$ das Urbild der Gruppe A₅ ${\displaystyle \subset \operatorname {SO} (3)}$ der orientierungserhaltenden Symmetrien des regelmäßigen Dodekaeders unter der zweifachen Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)}$ ist.

Achterknoten

Whitehead-Verschlingung

Die Weeks-Mannigfaltigkeit ist die hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens.[1] Man erhält sie durch (5,1)- und (5,2)-Dehn-Chirurgie an den beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung.

Die Gieseking-Mannigfaltigkeit ist die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.[2] Sie entsteht aus einem regulären idealen Tetraeder durch eine geeignete Identifizierung zweier Paare von Seitenflächen. Insbesondere hat sie das Volumen eines regulären idealen Tetraeders, also die Gieseking-Konstante 1,0149…

Das Komplement des Achterknotens in der 3-Sphäre ist gemeinsam mit seiner durch (5,1)-Dehn-Chirurgie an einer der beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung konstruierten Schwestermannigfaltigkeit die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den orientierbaren, nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.[3] Es ist eine 2-fache Überlagerung der Gieseking-Mannigfaltigkeit, sein Volumen also das Doppelte der Gieseking-Konstante.

Es ist ein Faserbündel über dem Kreis, dessen Faser ein punktierter Torus und dessen Monodromie Arnolds Katzenabbildung ist.

Das Komplement der Whitehead-Verschlingung ist eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit zwei Spitzen. Ein Fundamentalbereich im hyperbolischen Raum ist der regelmäßige ideale Oktaeder. Das hyperbolische Volumen des Komplements der Whitehead-Verschlingung ist deshalb 3.663862377…, das Volumen des regelmäßigen idealen Oktaeders. Die Komplemente der Whitehead-Verschlingung und ihrer „Schwester“, der (-2,3,8)-Brezelverschlingung, sind die beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens, deren Rand aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.[4]

Eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle +1}$. Äquivalent ist sie von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash S^{3}}$, wobei ${\displaystyle S^{3}}$ die 3-Sphäre und ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {S} ^{3})}$ eine diskrete Untergruppe ihrer Isometriegruppe ist. Man hat dann ${\displaystyle \pi _{1}M=\Gamma }$.

Wegen ${\displaystyle \operatorname {Isom} (S^{3})=\operatorname {SO} (4)}$ entsprechen die sphärischen 3-Mannigfaltigkeiten also eineindeutig den endlichen Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {SO} (4)}$.

Linsenräume sind sphärische Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$, bei denen die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ eine zyklische Gruppe ist.

Anders als für Haken-Mannigfaltigkeiten ist für Linsenräume durch die Fundamentalgruppe der Homöomorphietyp und selbst die Homotopieäquivalenzklasse noch nicht festgelegt. Reidemeister bewies mittels der später nach ihm benannten Reidemeister-Torsion, dass die homotopieäquivalenten Linsenräume ${\displaystyle L(7,1)}$ und ${\displaystyle L(7,2)}$ nicht homöomorph sind.[5]

Eine Seifert-Faserung ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die sich in Fasern homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}}$ zerlegen lässt, so dass jede Faser entweder eine Umgebung homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$ (reguläre Faser) oder eine Umgebung homöomorph zum Abbildungstorus der Rotation der Kreisscheibe um den Winkel ${\displaystyle 360^{\circ }\cdot q/p}$ (singuläre Faser vom Typ ${\displaystyle (p,q)}$) besitzt.

Seifert-Faserungen sind die einfachsten Stücke in der JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten.

I-Bündel sind 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand, die ein Faserbündel mit Faser homöomorph zum Intervall ${\displaystyle I=\left[0,1\right]}$ über einer kompakten Fläche (evtl. mit Rand) sind. Sie kommen bei der JSJ-Zerlegung von Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand vor.

Graph-Mannigfaltigkeiten wurden von Waldhausen ursprünglich definiert als 3-Mannigfaltigkeiten, die sich durch Aufschneiden entlang disjunkter, eingebetteter Tori in Kreisbündel zerlegen lassen. Eine äquivalente Bedingung ist, dass sie zusammenhängende Summe von 3-Mannigfaltigkeiten sind, die entweder Solv-Mannigfaltigkeiten sind oder in deren JSJ-Zerlegung nur Seifert-Faserungen vorkommen.

Eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle -1}$. Äquivalent ist sie von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ der 3-dimensionale hyperbolische Raum und ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{3})}$ eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist. Man hat dann ${\displaystyle \pi _{1}M=\Gamma }$.

Wegen ${\displaystyle Isom^{+}(H^{3})=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ entsprechen die orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten eineindeutig den Konjugationsklassen diskreter Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$.

Der Hyperbolisierungssatz besagt, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann hyperbolisch ist, wenn sie irreduzibel ist, unendliche Fundamentalgruppe und keine zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ isomorphe Untergruppe in ihrer Fundamentalgruppe hat.

Eine Haken-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die ${\displaystyle P^{2}}$-irreduzibel ist und eine eigentlich eingebettete, zweiseitige inkompressible Fläche enthält.

Haken-Mannigfaltigkeiten besitzen Hierarchien inkompressibler Flächen, durch die sie sich in eine Vereinigung disjunkter 3-dimensionaler Vollkugeln zerlegen lassen. Das ermöglicht es, Beweise für Haken-Mannigfaltigkeiten als Induktionsbeweise über die Länge einer Haken-Hierarchie zu führen.

Eine gefaserte 3-Mannigfaltigkeit ist eine 3-Mannigfaltigkeit der Form

${\displaystyle M_{f}:=\Sigma \times \left[0,1\right]/\sim ,\quad (x,0)\sim (f(x),1)\ \forall x\in \Sigma }$

für eine Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ und einen Homöomorphismus ${\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma }$.

Der Homöomoorphietyp von ${\displaystyle M_{f}}$ hängt nur von der Abbildungsklasse von ${\displaystyle f}$ ab. Eine 3-Mannigfaltigkeit kann auf unterschiedliche Weisen fasern.

Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt für Flächen ${\displaystyle \Sigma }$ vom Geschlecht ${\displaystyle \geq 2}$:

• ${\displaystyle M_{f}}$ ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn die Abbildungsklasse von ${\displaystyle f}$ periodisch ist,
• ${\displaystyle M_{f}}$ hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn die Abbildungsklasse von ${\displaystyle f}$ reduzibel ist.
• ${\displaystyle M_{f}}$ ist genau dann hyperbolisch, wenn die Abbildungsklasse von ${\displaystyle f}$ pseudo-Anosovsch ist.

Falls die Faser eine Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$, also ein Torus ist, erhält man im Fall, dass ${\displaystyle f}$ Anosovsch ist, eine Sol-Struktur auf ${\displaystyle M_{f}}$.

Ein Knotenkomplement ist der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Zwei Knotenkomplemente sind genau dann homöomorph, wenn die Knoten äquivalent sind.[6] Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt:

• ein Knotenkomplement ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn der Knoten ein Torusknoten ist,
• ein Knotenkomplement hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn der Knoten ein Satellitenknoten ist,
• ein Knotenkomplement ist genau dann eine hyperbolische Mannigfaltigkeit, wenn keiner der anderen beiden Fälle zutrifft.

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ besteht aus zwei Henkelkörpern ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ und einem Homöomorphismus ${\displaystyle f:\partial H_{1}\rightarrow \partial H_{2}}$, so dass ${\displaystyle M}$ aus ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ durch Verkleben mittels ${\displaystyle f}$ entsteht. Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt.

Die Dehn-Chirurgie ist ein Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird.

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung ${\displaystyle L\subset S^{3}}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

Pachner-Zug.

Eine Triangulierung einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist gegeben durch einen 3-dimensionalen Simplizialkomplex ${\displaystyle K}$ und einen Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon \vert K\vert \rightarrow X}$ der geometrischen Realisierung ${\displaystyle \vert K\vert }$ auf ${\displaystyle M}$.

Moise bewies 1952, dass alle 3-Mannigfaltigkeiten trianguliert werden können und dass für 3-Mannigfaltigkeiten die Hauptvermutung gilt: je zwei Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit besitzen eine gemeinsame Unterteilung. Insbesondere haben 3-Mannigfaltigkeiten eine eindeutige PL-Struktur.[7]

Je zwei unterschiedliche Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen.[8]

Die Fundamentalgruppe ist eine wichtige Invariante geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten. Nicht-sphärische geometrische 3-Mannigfaltigkeiten und irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer JSJ-Zerlegung sind durch ihre Fundamentalgruppe bereits eindeutig festgelegt.

Der Rang der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {rk} (M)}$ bezeichnet. Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass die 3-Sphäre die einzige geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle \operatorname {rk} (M)=0}$ ist. Aus dem Satz von Grushko folgt

${\displaystyle \operatorname {rk} (M_{1}\sharp M_{2})=\operatorname {rk} (M_{1})+\operatorname {rk} (M_{2})}$.

Die Homologiegruppen einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ sind bereits eindeutig durch ihre Fundamentalgruppe festgelegt. Es ist nämlich ${\displaystyle H_{1}(M)}$ die Abelisierung der Fundamentalgruppe, ${\displaystyle H_{2}(M)}$ wegen Poincaré-Dualität deren Dual (mithin der Quotient von ${\displaystyle H_{1}(M)}$ nach seiner Torsionsuntergruppe), sowie ${\displaystyle H_{0}(M)=H_{3}(M)=\mathbb {Z} }$.

Die Thurston-Norm ist eine Seminorm auf der zweiten Homologiegruppe ${\displaystyle H_{2}(M)}$ einer orientierten 3-Mannigfaltigkeit. Sie misst die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden eingebetteten Flächen.

Eingebettete Flächen, die die Thurston-Norm in ihrer Homologieklasse minimieren, sind Blätter einer straffen Blätterung.

Hyperbolisches Volumen ist eine topologische Invariante, weil es nach dem Starrheitssatz von Mostow-Prasad auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle {\displaystyle \geq 3}}$ höchstens eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens geben kann. Eine Verallgemeinerung auf beliebige (nicht notwendig hyperbolische) Mannigfaltigkeiten ist das simpliziale Volumen, das im Fall von 3-Mannigfaltigkeiten die Summe der Volumina der hyperbolischen Stücke in der JSJ-Zerlegung (multipliziert mit dem Inversen der Gieseking-Konstante) gibt.

Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen hyperbolischem Volumen und Quanteninvarianten von Knoten her, die bisher aber nur in wenigen Fällen bewiesen wurde.

Die hyperbolischen Volumina von 3-Mannigfaltigkeiten bilden eine wohlgeordnete Teilmenge der reellen Zahlen, d. h. jede Familie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten hat ein Element kleinsten Volumens. Es gibt jeweils nur endlich viele 3-Mannigfaltigkeiten mit demselben Volumen. Gabai-Meyerhoff-Milley entwickelten die Mom-Technologie, um vollständige Listen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten kleinen Volumens zu erstellen.[9]

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \rho$ :\pi _{1}M\rightarrow \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )} ihre Monodromiedarstellung, dann gilt für das assoziierte flache Bündel ${\displaystyle E_{\rho }}$

${\displaystyle CS(E_{\rho })=cs(M)+{\frac {i}{2\pi ^{2}}}vol(M)\in \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$,

wobei ${\displaystyle cs(M)}$ die Riemannsche Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs bezeichnet.[10]

Die rechte Seite dieser Gleichung wird auch als komplexes Volumen bezeichnet.

Das Bild der Fundamentalklasse unter der Darstellung ${\displaystyle \rho }$ definiert eine Homologieklasse

${\displaystyle (B\rho )_{*}\left[M\right]\in H_{3}(\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )^{\delta };\mathbb {Z} )\simeq {\hat {B}}(\mathbb {C} )}$

in der erweiterten Bloch-Gruppe und der Rogers-Dilogarithmus

${\displaystyle R:{\hat {B}}(\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {C} /2\pi ^{2}\mathbb {Z} }$

bildet ${\displaystyle (B\rho )_{*}\left[M\right]}$ auf ${\displaystyle CS(E_{\rho })}$ ab. Das liefert eine explizite Formel für die Chern-Simons-Invariante und einen alternativen Beweis des Satzes von Yoshida.[11][12][13]

Die Casson-Invariante ist eine Invariante 3-dimensionaler Homologiesphären. Für eine Heegaard-Zerlegung ${\displaystyle M=H_{1}\cup _{S_{g}}H_{2}}$ ist sie ${\displaystyle {\tfrac {(-1)^{g}}{2}}}$ mal die Schnittzahl der ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Charaktervarietäten ${\displaystyle {\mathcal {R}}(H_{1})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}(H_{2})}$ in ${\displaystyle {\mathcal {R}}(S_{g})}$

Das Heegaard-Geschlecht ${\displaystyle g(M)}$ einer kompakten, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ist das minimale Geschlecht der Heegaard-Fläche in einer Heegaard-Zerlegung von ${\displaystyle M}$. Es gilt stets ${\displaystyle g(M)\geq rk(M)}$. Eine offene Vermutung besagt, dass für hyperbolische Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle g(M)=rk(M)}$ sei. Die Vermutung ist im Allgemeinen falsch für Seifert-Faserungen.[14]

Heegaard-Floer-Homologie ist eine Invariante einer geschlossenen Spin^c-3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Sie wird mittels Heegaard-Zerlegung von ${\displaystyle M}$ durch Lagrange-Floer-Homologie konstruiert. Man erhält mehrere Homologiegruppen, die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen.

Mittels Heegaard-Floer-Homologie kann man den Unknoten von allen nichttrivialen Knoten unterscheiden.

Mit der Reidemeister-Torsion lassen sich die homotopieäquivalenten Linsenräume unterscheiden, für die andere Invarianten der algebraischen Topologie übereinstimmen.

Weil die Fundamentalgruppen ${\displaystyle \pi _{1}M}$ von 3-Mannigfaltigkeiten residuell endlich sind, gibt es eine absteigende Folge ${\displaystyle \Gamma _{n}\vartriangleleft \pi _{1}M}$ mit ${\displaystyle \left[\pi _{1}M\colon \Gamma _{n}\right]<\infty }$ und ${\displaystyle \cap _{n}\Gamma _{n}=0}$. Dann lassen sich nach dem Approximationssatz von Lück die L²-Bettizahlen durch

${\displaystyle b_{i}^{(2)}(M)=\lim _{n}{\frac {b_{i}(M)}{\left[\pi _{1}M\colon \Gamma _{n}\right]}}}$

berechnen.[15] Die L²-Torsion von 3-Mannigfaltigkeiten ist proportional zum simplizialen Volumen.

Turaev-Viro-Invarianten sind über Zustandssummen definierte Invarianten geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten.[16]

Weil nach dem Satz von Gordon-Luecke Knotenkomplemente genau dann homöomorph sind, wenn die Knoten äquivalent sind, sind Knoteninvarianten wie zum Beispiel Quanteninvarianten und das Alexander-Polynom auch topologische Invarianten von Knotenkomplementen.

Eine Mannigfaltigkeit hat eine ${\displaystyle (G,X)}$-Struktur für einen transitiven G-Raum ${\displaystyle X}$, wenn sie durch offene Mengen („Karten“) lokal homöomorph zu ${\displaystyle X}$ überdeckt werden kann, so dass die Koordinatenübergänge Einschränkungen von Elementen aus ${\displaystyle G}$ sind.

Eine Modellgeometrie ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ mit einer differenzierteren Wirkung einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$, die den folgenden Bedingungen genügt:

• ${\displaystyle X}$ ist zusammenhängend und einfach zusammenhängend
• ${\displaystyle G}$ wirkt transitiv mit kompakten Stabilisatoren (insbesondere gibt es auf ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle G}$-invariante Riemannsche Metrik)
• ${\displaystyle G}$ ist maximal unter Gruppen, die durch Diffeomorphismen mit kompakten Stabilisatoren auf ${\displaystyle X}$ wirken
• es gibt mindestens eine kompakte ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit.

Aus der letzten Bedingung folgt insbesondere, dass ${\displaystyle G}$ unimodular sein muss. Es gibt zahlreiche Paare ${\displaystyle (G,X)}$, die alle Bedingungen mit Ausnahme der letzten erfüllen, zum Beispiel ${\displaystyle G=X=\operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{2})}$, die Lie-Gruppe der affinen Abbildungen der euklidischen Ebene.

Thurston hat bewiesen, dass es genau acht 3-dimensionale Modellgeometrien gibt[17]:

• den euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$,
• die dreidimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ (Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel),
• den hyperbolischen Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$,
• das Produkt von 2-Sphäre und Gerade, ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$,
• das Produkt von hyperbolischer Ebene und Gerade, ${\displaystyle H^{2}\times \mathbb {R} }$,
• ${\displaystyle {\widetilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$, der universellen Überlagerung der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$
• die Heisenberg-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Nil} }$
• die 3-dimensionale auflösbare Lie-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Sol} }$.

Querschnitt durch eine Reeb-Blätterung.

Jede 3-Mannigfaltigkeit trägt Blätterungen der Kodimension 1, im Allgemeinen haben diese Blätterungen aber Reeb-Komponenten.

Gabai hat bewiesen, dass jede 3-Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle H_{2}(M,\partial M)\not =0}$ eine straffe Blätterung trägt.[18] Straffe Blätterungen haben keine Reeb-Komponenten.

Eine Laminierung einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine Blätterung einer abgeschlossenen Teilmenge von ${\displaystyle M}$.

In der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten sind vor allem wesentliche Laminierungen von Bedeutung.[19]

Spezialfälle wesentlicher Laminierungen sind inkompressible Flächen und straffe Blätterungen.

Die Standard-Kontaktstruktur des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

In der 3-dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Eliashberg und Thurston haben bewiesen, dass jede Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit (mit Ausnahme der Produktblätterung von ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$) durch Kontaktstrukturen approximiert werden kann und insbesondere straffe Blätterungen durch straffe Kontaktstrukturen approximiert werden können.[20] Mithin folgt aus dem Satz von Gabai die Existenz straffer Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle H_{2}(M,\partial M)\not =0}$.

Der Satz von Moise besagt, dass jede 3-Mannigfaltigkeit eine eindeutige PL-Struktur und eine eindeutige Differentialstruktur besitzt.[21]

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden ${\displaystyle 3}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

${\displaystyle M=M_{1}\sharp \ldots \sharp M_{k}}$

mit Prim-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{k}}$ (den Primkomponenten).

Die Existenz der Prim-Zerlegung für 3-Mannigfaltigkeiten wurde 1924 von Kneser bewiesen, ihre Eindeutigkeit 1962 von Milnor.[22][23]

Ein Satz von Jaco-Shalen und Johannson besagt, dass jede irreduzible, geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit eine bis auf Isotopie eindeutige (nicht notwendig zusammenhängende) Seifert-gefaserte Untermannigfaltigkeit mit atoroidalem Komplement besitzt. Diese wird auch als charakteristische Untermannigfaltigkeit bezeichnet.

Die JSJ-Zerlegung ist eine wichtige Voraussetzung für die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Jede Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt sich geometrisieren und jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit trägt eine hyperbolische Metrik.

Für Mannigfaltigkeiten mit Rand hat man ebenfalls eine JSJ-Zerlegung, hier besteht die charakteristische Untermannigfaltigkeit nicht nur aus Seifert-Faserungen, sondern auch aus I-Bündeln.[24][25]

Dehns Lemma besagt, dass ein eine immersierte Kreisscheibe in einer 3-Mannigfaltigkeit berandender eingebetteter Kreis auch eine eingebettete Kreisscheibe berandet.[26]

Der Sphärensatz besagt, dass es in einer 3-Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer zweiter Homotopiegruppe stets eingebettete, nicht null-homotope 2-Sphären geben muss.[27]

Der von Wolfgang Haken bewiesene Endlichkeitssatz besagt, dass es zu einer kompakten, irreduziblen 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ eine ganze Zahl ${\displaystyle c(M)}$ gibt, so dass für jede Menge von ${\displaystyle k>c(M)}$ disjunkten, eingebetteten, zweiseitigen, inkompressiblen Flächen ${\displaystyle \left\{S_{1},\ldots ,S_{k}\right\}}$ eine der Komponenten von ${\displaystyle \textstyle M\setminus \bigcup _{i=1}^{k}S_{i}}$ ein Produkt ${\displaystyle S_{i}\times \left[0,1\right]}$ sein muss.[28]

Der entsprechende Satz für eingebettete 2-Sphären war bereits von Kneser bewiesen worden und war der Hauptschritt im Existenzbeweis der Primzerlegung.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe eine Untergruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ enthält. Dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus ${\displaystyle T^{2}\subset M}$.[29]

Jede 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe hat einen kompakten Kern, d. h. eine kompakte Untermannigfaltigkeit, deren Inklusion in ${\displaystyle M}$ eine Homotopieäquivalenz ist.[30]

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einem Link ${\displaystyle L\subset S^{3}}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden. Man kann sogar erreichen, dass alle Komponenten von ${\displaystyle L}$ unverknotet und dass alle Koeffizienten ${\displaystyle -{\tfrac {b_{i}}{d_{i}}}=\pm 1}$ sind.[31][32]

Die von Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass jede kompakte, einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zur ${\displaystyle S^{3}}$ ist.[33][34]

Die von Grigori Perelman bewiesene Thurston-Vermutung besagt, dass jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit eine hyperbolische Metrik trägt.

Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in Grundbausteine auf jedem dieser Bausteine eine charakteristische geometrische Struktur zu finden. Die von Thurston aufgestellte Vermutung, dass dies immer möglich ist, stellt eine Verallgemeinerung der Poincaré-Vermutung dar und wurde von Grigori Perelman mit seinen Arbeiten zum Ricci-Fluss bewiesen.

Präzise besagt die Geometrisierung, dass die Stücke der JSJ-Zerlegung einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit eine ${\displaystyle (G,X)}$-Struktur tragen.

Die von Casson-Jungreis und Gabai bewiesene Seifert-Faserraum-Vermutung besagt, dass eine 3-Mannigfaltigkeit genau dann eine Seifert-Faserung ist, wenn das Zentrum ihrer Fundamentalgruppe isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist.[35][36]

Waldhausens Starrheitssatz besagt, dass jede Homotopieäquivalenz zwischen Haken-Mannigfaltigkeiten homotop zu einem Homöomorphismus ist. Insbesondere sind Haken-Mannigfaltigkeiten durch ihre Fundamentalgruppen eindeutig bestimmt.[37]

Die von Tao Li bewiesene Waldhausen-Vermutung besagt, dass eine geschlossene, orientierbare, irreduzible, atoroidale 3-Mannigfaltigkeit bis auf Isotopie nur endlich viele Heegaard-Zerlegungen mit Heegaard-Flächen gegebenen Geschlechts ${\displaystyle g}$ besitzt.[38]

Die Smith-Vermutung besagte, dass Diffeomorphismen ${\displaystyle f\colon S^{3}\to S^{3}}$ endlicher Ordnung eine unverknotete Fixpunktmenge haben. Sie wurde in den 80er Jahren mit Hilfe der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen.[39]

Sei ${\displaystyle M}$ eine zusammenhängende, kompakte, orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, die keine Seifert-Faserung ist und deren Rand ein Torus ist. Der Satz über zyklische Chirurgie besagt: wenn zwei unterschiedliche Dehn-Füllungen zu Mannigfaltigkeiten mit zyklischen Fundamentalgruppen führen, dann ist die Schnittzahl der Ränder der Meridiane der beiden eingefüllten Volltori höchstens 1.[40]

Der von Thurston bewiesene Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie besagt, dass fast alle durch Dehn-Chirurgie an einem gegebenen hyperbolischen Knoten ${\displaystyle K}$ erzeugten Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch sind.[41]

Die von Agol und Calegari-Gabai bewiesene Marden-Vermutung besagt, dass jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe topologisch zahm, also homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit ist.[42][43]

Das Lemma von Margulis beschreibt die dünnen Teile einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit.

Insbesondere erhält man, dass eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit genau dann endliches hyperbolisches Volumen hat, wenn sie das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit ist, deren Rand aus inkompressiblen Tori besteht oder leer ist.

Hyperbolische Metriken endlichen Volumens sind auf einer 3-Mannigfaltigkeit, wenn sie existieren, eindeutig bis auf Isometrie. Äquivalent gibt es bis auf Konjugation nur eine diskrete Einbettung der Fundamentalgruppe in die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes.

Insbesondere sind geometrisch definierte Invarianten wie Volumen, Chern-Simons-Invariante und Längenspektrum auch topologische Invarianten von hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens.

Sei ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit unendlichen Volumens. Die Kleinsche Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{3})}$ ist geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• es gibt einen Fundamentalpolyeder mit endlich vielen Seitenflächen
• für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {H} ^{3}}$ hat der Dirichlet-Bereich endlich viele Seitenflächen
• der konvexe Kern ${\displaystyle C(M)}$ von ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}}$ hat endliches Volumen.

Geometrisch endliche hyperbolische Metriken auf einer gegebenen 3-Mannigfaltigkeit werden durch ihre konformen Ränder (d. h. die Quotienten der Diskontinuitätsbereiche in der Sphäre im Unendlichen) eindeutig bestimmt.[44]

Ein Ende einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt geometrisch endlich, wenn es eine Umgebung besitzt, die vom konvexen Kern ${\displaystyle C(M)}$ disjunkt ist. Andernfalls heißt das Ende geometrisch unendlich. Wenn ein Ende ${\displaystyle e}$ einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ geometrisch unendlich ist, dann gibt es zu jeder Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle e}$ eine geschlossene Geodäte ${\displaystyle \gamma \subset M}$ mit ${\displaystyle \gamma \cap U\not =\emptyset }$. Für ein geometrisch unendliches Ende der Form ${\displaystyle S\times (0,\infty )}$ definiert man die Endenlaminierung als die Laminierung der Fläche ${\displaystyle S}$, welche man als Grenzwert einer (jeder) Folge von jede kompakte Teilmenge letztendlich verlassenden Geodäten ${\displaystyle \gamma _{n}\subset M}$ erhält.

Der von Jeffrey Brock, Richard Canary und Yair Minsky bewiesene Satz über Endenlaminierungen besagt, dass geometrisch unendliche Enden durch ihre Endenlaminierung eindeutig bestimmt sind.[45]

Der Satz von Thurston-Bonahon besagt, dass eine geschlossene Fläche in einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit entweder quasigeodätisch oder eine virtuelle Faser ist.

Die auf Waldhausen zurückgehende und von Kahn-Markovic bewiesene „surface subgroup conjecture“ besagt, dass die Fundamentalgruppe einer irreduziblen, nicht-sphärischen, geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit eine Untergruppe isomorph zu einer Flächengruppe enthält.[46]

Die von Ian Agol bewiesene „virtual Haken conjecture“ (VHC) besagt, dass jede 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung hat, die eine Haken-Mannigfaltigkeit ist.[47]

Die von Ian Agol bewiesene „virtual fibered conjecture“ (VFC) besagt, dass jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung hat, die ein Flächenbündel über dem Kreis ist.[48]