Siebzehneck

Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar – 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.[6] Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung[7] und Das Siebzehneck: die Zeichnung[8] entnommen.

Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}\;\right),}$

erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1 – 3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.

Bild (1): Konstruktion der Hilfsgrößen p und q und des Produkts qq

Darin gilt ${\displaystyle p={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}$ sowie ${\displaystyle q={\frac {p+{\sqrt {1+pp}}}{2}}.}$

1. Ab Punkt ${\displaystyle A}$ eine Halbgerade ziehen, darauf ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle {\overline {AB}}=1,}$ Lot auf Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ in ${\displaystyle A}$ errichten und ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ab ${\displaystyle A}$ auf Lot übertragen ergibt ${\displaystyle C.}$
2. Lot auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ in ${\displaystyle B}$ mit Länge ${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\cdot {\overline {AB}}}$ ergibt ${\displaystyle D,}$ anschließend Halbgerade von ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle D}$ ergibt ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}.}$
3. Kreis um ${\displaystyle D}$ durch ${\displaystyle B}$ ergibt ${\displaystyle E}$ auf Halbgerade, ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ist Hilfsgröße ${\displaystyle p.}$
4. Viertelkreis um ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle E}$ ergibt ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G,}$ nun ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle F}$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ ab ${\displaystyle G}$ ergibt ${\displaystyle H}$ sowie mit ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ das Produkt ${\displaystyle pp.}$
5. Zu ${\displaystyle pp}$ zweimal die Länge ${\displaystyle =1={\overline {AC}}}$ addieren, ergibt ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J,}$ anschließend ${\displaystyle {\overline {AJ}}}$ in ${\displaystyle K}$ halbieren und um ${\displaystyle K}$ über ${\displaystyle {\overline {AJ}}}$ Halbkreis ziehen.
6. Lot auf ${\displaystyle {\overline {AJ}}}$ in ${\displaystyle I}$ bis Halbkreis ergibt ${\displaystyle {\overline {IL}}={\sqrt {\left(pp+1\right)}},}$ anschließend zu ${\displaystyle {\overline {IL}}}$ ab ${\displaystyle L}$ Hilfsgröße ${\displaystyle p={\overline {AE}}}$ addieren, ergibt ${\displaystyle M.}$
7. ${\displaystyle {\overline {IM}}}$ in ${\displaystyle N}$ halbieren ergibt Hilfsgröße ${\displaystyle {\overline {IN}}=q.}$
8. Viertelkreis um ${\displaystyle I}$ ab ${\displaystyle J}$ ergibt ${\displaystyle O,}$ anschließend Viertelkreis um ${\displaystyle I}$ ab ${\displaystyle N}$ ergibt ${\displaystyle P.}$
9. ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle P}$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ ab ${\displaystyle N}$ ergibt ${\displaystyle Q}$ sowie mit ${\displaystyle {\overline {IQ}}}$ das Produkt ${\displaystyle qq.}$

Bild (2): Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'

Darin gilt ${\displaystyle p'={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}$ sowie ${\displaystyle q'={\frac {p'+{\sqrt {1+p'p'}}}{2}}.}$

1. Ab Punkt ${\displaystyle A'}$ eine Halbgerade ziehen, darauf ${\displaystyle B'}$ mit ${\displaystyle {\overline {A'B'}}=1,}$ Lot auf Strecke ${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ in ${\displaystyle A'}$ errichten und ${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ ab ${\displaystyle A'}$ auf Lot übertragen ergibt ${\displaystyle C'.}$
2. Lot auf ${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ in ${\displaystyle B'}$ mit der Länge ${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\cdot {\overline {A'B'}}}$ ergibt ${\displaystyle D',}$ anschließend Halbgerade von ${\displaystyle A'}$ durch ${\displaystyle D'}$ ergibt ${\displaystyle {\overline {A'D'}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {17}}.}$
3. Kreis um ${\displaystyle D'}$ durch ${\displaystyle B'}$ ergibt ${\displaystyle E'}$ auf Halbgerade, ${\displaystyle {\overline {A'E'}}}$ ist Hilfsgröße ${\displaystyle p'.}$
4. Viertelkreis um ${\displaystyle A'}$ durch ${\displaystyle E'}$ ergibt ${\displaystyle F'}$ und ${\displaystyle G',}$ nun ${\displaystyle C'}$ mit ${\displaystyle F'}$ verbinden, anschließende Parallele zu ${\displaystyle {\overline {C'F'}}}$ ab ${\displaystyle G'}$ ergibt ${\displaystyle H'}$ sowie mit ${\displaystyle {\overline {A'H'}}}$ das Produkt ${\displaystyle p'p'.}$
5. Zu ${\displaystyle p'p'}$ zweimal die Länge ${\displaystyle =1={\overline {A'C'}}}$ addieren, ergibt ${\displaystyle I'}$ und ${\displaystyle J',}$ anschließend ${\displaystyle {\overline {A'J'}}}$ in ${\displaystyle K'}$ halbieren und um ${\displaystyle K'}$ über ${\displaystyle {\overline {A'J'}}}$ Halbkreis ziehen.
6. Lot auf ${\displaystyle {\overline {A'J'}}}$ in ${\displaystyle I'}$ bis Halbkreis ergibt ${\displaystyle {\overline {I'L'}}={\sqrt {\left(p'p'+1\right)}},}$ anschließend von ${\displaystyle {\overline {I'L'}}}$ ab ${\displaystyle L'}$ Hilfsgröße ${\displaystyle p'={\overline {A'E'}}}$ subtrahieren, ergibt ${\displaystyle M'.}$
7. ${\displaystyle {\overline {I'M'}}}$ in ${\displaystyle N'}$ halbieren ergibt mit ${\displaystyle {\overline {I'N'}}}$ Hilfsgröße ${\displaystyle q'.}$

Bild (3): Konstruktion der Wurzel aus qq-2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μ

1. Ab Punkt ${\displaystyle I}$ eine Halbgerade ziehen, darauf Produkt ${\displaystyle qq}$ aus Bild (1) übertragen ergibt ${\displaystyle Q,}$ anschließend Länge ${\displaystyle =1={\overline {AC}}}$ aus Bild (1) ab ${\displaystyle Q}$ übertragen ergibt ${\displaystyle R.}$
2. Von ${\displaystyle qq}$ die Länge ${\displaystyle 2q'={\overline {I'M'}}}$ aus Bild (2) ab Punkt ${\displaystyle I}$ subtrahieren ergibt ${\displaystyle S,}$ anschließend ${\displaystyle {\overline {SR}}}$ in ${\displaystyle T}$ halbieren und um ${\displaystyle T}$ über ${\displaystyle {\overline {SR}}}$ Halbkreis ziehen.
3. Lot auf ${\displaystyle {\overline {SR}}}$ in ${\displaystyle Q}$ bis Halbkreis ergibt ${\displaystyle {\overline {QU}}={\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}.}$
4. Strecke ${\displaystyle {\overline {Q'U'}}={\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}}$ einzeichnen und dazu Hilfsgröße ${\displaystyle q={\overline {IN}}}$ aus Bild (1) ab ${\displaystyle U'}$ addieren ergibt ${\displaystyle V,}$ anschließend ${\displaystyle {\overline {Q'V}}}$ in ${\displaystyle W}$ halbieren, die Strecke ${\displaystyle {\overline {WV}}}$ ist der Kosinus ${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(q+{\sqrt {\left(qq-2q'\right)}}\;\right)}$ des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ des Siebzehnecks.
5. Um Punkt ${\displaystyle W'}$ Umkreis mit dem Radius ${\displaystyle =1}$ (z. B. mit Strecke ${\displaystyle {\overline {QR}}}$) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt ${\displaystyle P_{17}.}$
6. ${\displaystyle {\overline {WV}}=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)}$ auf ${\displaystyle {\overline {W'P_{17}}}}$ ab ${\displaystyle W'}$ übertragen, ergibt ${\displaystyle V'.}$
7. Lot auf ${\displaystyle {\overline {W'V'}}}$ in ${\displaystyle V'}$ bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt ${\displaystyle P_{1}}$ des entstehenden Siebzehnecks.
8. ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{17}}}}$ fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.

${\displaystyle \ldots }$

Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.

Eine der ersten geometrischen Konstruktionsanleitungen für das regelmäßige Siebzehneck stammt von Magnus Georg Paucker, der sie 1819 der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vorlegte, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[9]

Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker mit deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck, Schritt 17: Abtragen der Diagonalen über zwei Seiten.

Animation der Konstruktionsskizze, Schritt 17: Abtragen der Seite i j auf dem Umkreis.

Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker.[10] sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in der Originalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geom. Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.

1. Zeichne auf dem Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
2. Errichte den Durchmesser pA = pa senkrecht zu pa.
3. Halbiere den Radius mp in B.
4. Verlängere pa ab p.
5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C.
6. Halbiere pA in D.
7. Halbiere pC in E.
8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F.
9. Errichte den Radius mG senkrecht zu pa.
10. Halbiere mC in H.
11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I.
12. Konstruiere den Halbkreis über pF.
13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K.
14. Zeichne die Parallele zu mp ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L.
15. Fälle das Lot von L auf mH, Fußpunkt ist M. Es gilt pM ist die Seite des 34-Ecks.

Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:

16. Ziehe einen Halbkreis um p mit dem Radius pM, damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt i und ein z. B. mit j bezeichneter Punkt. Die Strecke i j ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
17. Trage die Seite i j vierzehnmal auf dem Umkreis ab.

oder:

16. Es gilt auch MF = pc, demzufolge trage MF auf dem Umfang in Richtung Punkt a ab und du erhältst Punkt c.
17. Trage ac, also die Diagonale über zwei Seiten, von a beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind.

Jeweils abschließend:

18. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach.[11] Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[12]

Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond

Animation der Skizze

Ist der Umkreis um das entstehende Siebzehneck mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen des Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A, später zusätzlich mit P17 bezeichnet.
2. Errichten des Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechten auf EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N₃ und N₅ (dabei liegt N₃ sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
8. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N₃; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₃ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₃ ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
9. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N₅; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₅ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₅ ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP₃ auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt P₃ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P₆, P₉, P₁₂, P₁₅, P₁, P₄, P₇, P₁₀, P₁₃, P₁₆, P₂, P₈, P₁₁ und P₁₄.
11. Verbinden der so gefundenen Punkte P₁, P₂, …, P₁₇, P₁ vervollständigt das 17-Eck.

Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks.[13] Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.

Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple

Animation der Skizze, am Ende 20 s Pause

1. Zeichne die x-Achse und setze darauf den Punkt ${\textstyle 0=(0\;;\;0).}$
2. Zeichne um ${\displaystyle O}$ den Einheitskreis ${\displaystyle c_{1}}$ mit Radius ${\displaystyle r_{1},}$ Schnittpunkte mit ${\displaystyle c_{1}}$ sind ${\displaystyle P_{0}=(+r_{1}\;;\;0)}$ und ${\displaystyle Q=(-r_{1}\;;\;0).}$
3. Konstruiere die y-Achse vom Umkreis ${\displaystyle c_{1}}$ des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit ${\displaystyle c_{1}}$ ist ${\displaystyle A=(0\;;\;r).}$
4. Halbiere den Radius ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ in ${\textstyle Q'=\left({\frac {-r}{2}}\;;\;0\right).}$
5. Ziehe den Kreisbogen ${\displaystyle c_{2}}$ mit dem Radius ${\displaystyle r_{2}={\overline {Q'P_{0}}}}$ ${\textstyle \left(r_{2}={\frac {3}{2}}\cdot r_{1}\right)}$ um ${\displaystyle Q'.}$
6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ ab ${\displaystyle Q',}$ Schnittpunkt mit ${\displaystyle c_{2}}$ ist ${\textstyle M_{0}=\left({\frac {-r_{1}}{2}}\;;\;-1{,}5\;r_{1}\right).}$
7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen ${\displaystyle Cc_{1}}$ um ${\displaystyle M_{0}}$ durch ${\displaystyle A}$ (mit ${\textstyle r_{Cc1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {26}}\cdot r_{1}}$) so, dass er die x-Achse vom Umkreis ${\displaystyle c_{1}}$ zweimal trifft, Schnittpunkte sind ${\textstyle H_{0,2}=\left({\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right)}$ und ${\textstyle H_{1,2}=\left({\frac {1}{2}}\left(-1-{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
8. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {OH_{0,2}}}}$ in ${\textstyle M_{0,2}=\left({\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
9. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {OH_{1,2}}}}$ in ${\textstyle M_{1,2}=\left({\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}\right)\cdot r_{1}\;;\;0\right).}$
10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen ${\displaystyle Cc_{2}}$ um ${\displaystyle M_{1,2}}$ ab ${\displaystyle A}$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist ${\textstyle H_{1,4}=\left({\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;0\right).}$
11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen ${\displaystyle Cc_{3}}$ um ${\displaystyle M_{0,2}}$ ab ${\displaystyle A}$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist ${\textstyle H_{0,4}=\left({\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;0\right).}$
12. Trage ${\displaystyle {\overline {OH_{1,4}}}}$ von Punkt ${\displaystyle A}$ aus auf der Geraden ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ ab. Du erhältst Punkt ${\textstyle Y=\left(0\;;\;{\frac {r_{1}}{4}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}+3\right)\right).}$
13. Verbinde ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle H_{0,4}.}$
14. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {H_{0,4}Y}}}$ in ${\textstyle M_{0,4}=\left({\frac {r_{1}}{8}}\left({\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}-1\right)\;;\;{\frac {r_{1}}{8}}\left({\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}-{\sqrt {17}}+3\right)\right).}$
15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen ${\displaystyle Cc_{4}}$ um ${\displaystyle M_{0,4}}$ ab ${\displaystyle A}$ bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist ${\displaystyle H_{0,8}.}$
16. Ziehe den Kreisbogen ${\displaystyle c_{3}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {OP_{0}}}}$ um ${\displaystyle H_{0,8},}$ Schnittpunkte mit dem Umkreis ${\displaystyle c_{1}}$ sind die Eckpunkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{16},}$ somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ auf dem Umkreis ${\displaystyle c_{1},}$ ab dem Eckpunkt ${\displaystyle P_{1}}$ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte ${\displaystyle P_{2}}$ bis ${\displaystyle P_{16}.}$
18. Verbinde die so gefundenen Punkte ${\displaystyle P_{1},}$ ${\displaystyle P_{2}\ldots ,}$ ${\displaystyle P_{16}}$ und ${\displaystyle P_{0},}$ dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.

Siebzehneck nach L. Gérard 1897, mithilfe des Satzes von
Mohr-Mascheroni allein mit Zirkel konstruiert

Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines Werkes Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard[14] mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni.

Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde in Mathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.[15][16]

• Das im Bild eingetragene farbige Siebzehneck sowie die gepunkteten Verbindungslinien der Eckpunkte, sind nicht Teil der Lösung (alleinige Verwendung des Zirkels), sie sollen lediglich der Veranschaulichung dienen. Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit, ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).

Konstruktionsbeschreibung

(in Klammer die Bildnummer)

Siebzehneck ohne Lineal als Animation mit 16 Bildern, 15 s Pause

 (1) Es beginnt mit dem Einheitskreis um den Mittelpunkt ${\displaystyle O,}$ Radius ${\displaystyle |OA|=1}$.

 (2) Nun trägt man im Uhrzeigersinn dreimal den Radius ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ auf den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle B,C}$ sowie der erste Eckpunkt ${\displaystyle D.}$

Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes ${\displaystyle M}$ vom Radius ${\displaystyle |OA|}$.

 (3)Zwei Kreisbögen um ${\displaystyle A}$ mit dem Radius ${\displaystyle |AD|}$ und zwei Kreisbögen um ${\displaystyle D}$ mit dem Radius ${\displaystyle |DB|}$ erzeugen die Schnittpunkte ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G'}$.

 (4) Je ein Kreisbogen um ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G'}$ mit Radius ${\displaystyle |DB|}$ liefert den Schnittpunkt ${\displaystyle M.}$

Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte ${\displaystyle X}$ bis ${\displaystyle Z_{1}}$.

 (5) ${\displaystyle X:}$ je ein Kreisbogen um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle D}$ mit Radius ${\displaystyle |AC|,}$

 (6) ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F':}$ zwei Kreisbögen um ${\displaystyle A}$ mit Radius ${\displaystyle |OX|,}$

 (7) ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle K':}$ zwei Kreisbögen um ${\displaystyle M}$ mit Radius ${\displaystyle |OA|,}$

 (8) ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle E_{2}:}$ je zwei Kreisbögen um ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle K'}$ mit Radius ${\displaystyle |OX|,}$

 (9) ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L'_{1}:}$ je zwei Kreisbögen um ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F'}$ mit Radius ${\displaystyle |OE_{1}|}$ sowie zwei Kreisbögen um ${\displaystyle E_{1}}$ mit Radius ${\displaystyle |OA|,}$

(10) ${\displaystyle E_{11}:}$ je einen Kreisbogen um ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L'_{1}}$ mit Radius ${\displaystyle |E_{1}X|,}$

(11) ${\displaystyle L_{2}}$ und ${\displaystyle L'_{2}:}$ je zwei Kreisbögen um ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F'}$ mit Radius ${\displaystyle |OE_{2}|}$ sowie zwei Kreisbögen um ${\displaystyle E_{2}}$ mit Radius ${\displaystyle |OA|,}$

(12) ${\displaystyle E_{21}:}$ je ein Kreisbogen um ${\displaystyle L_{2}}$ und ${\displaystyle L'_{2}}$ mit Radius ${\displaystyle |E_{2}X|,}$

(13) ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle N':}$ je zwei Kreisbögen um ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle E_{21}}$ mit Radius ${\displaystyle |AE_{11}|,}$

(14) ${\displaystyle Z_{1}:}$ je ein Kreisbogen um ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle N'}$ mit Radius ${\displaystyle |E_{11}B|.}$

(15) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um ${\displaystyle Z_{1}}$ mit Radius ${\displaystyle |OA|}$, um zwei weitere Eckpunkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

Die Abstände ${\displaystyle |DP|}$ und ${\displaystyle |DP'|}$ entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebenecks.

(16) Abschließend liefern die noch fehlenden 14 Eckpunkte, durch Abtragen des Abstandes ${\displaystyle |DP|}$ auf den Umkreis, ein regelmäßiges Siebzehneck allein mit Zirkel erstellt.