(40,13,4)-Blockplan
Der (40,13,4)-Blockplan ist ein spezieller Symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 40 × 40 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 13 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 4 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 40, k = 13, λ = 4), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 40, k = 13, λ = 4 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 40 Blöcken und 40 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 13 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 4 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 13 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 4 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens 1108800 nichtisomorphe 2-(40,13,4) - Blockpläne[1]. Zwei dieser Lösungen sind:
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 5 6 9 14 15 18 20 25 27 35 2 3 4 6 7 10 15 16 19 21 26 28 36 3 4 5 7 8 11 16 17 20 22 27 29 37 4 5 6 8 9 12 17 18 21 23 28 30 38 5 6 7 9 10 13 18 19 22 24 29 31 39 6 7 8 10 11 14 19 20 23 25 30 32 40 1 7 8 9 11 12 15 20 21 24 26 31 33 2 8 9 10 12 13 16 21 22 25 27 32 34 3 9 10 11 13 14 17 22 23 26 28 33 35 4 10 11 12 14 15 18 23 24 27 29 34 36 5 11 12 13 15 16 19 24 25 28 30 35 37 6 12 13 14 16 17 20 25 26 29 31 36 38 7 13 14 15 17 18 21 26 27 30 32 37 39 8 14 15 16 18 19 22 27 28 31 33 38 40 1 9 15 16 17 19 20 23 28 29 32 34 39 2 10 16 17 18 20 21 24 29 30 33 35 40 1 3 11 17 18 19 21 22 25 30 31 34 36 2 4 12 18 19 20 22 23 26 31 32 35 37 3 5 13 19 20 21 23 24 27 32 33 36 38 4 6 14 20 21 22 24 25 28 33 34 37 39 5 7 15 21 22 23 25 26 29 34 35 38 40 1 6 8 16 22 23 24 26 27 30 35 36 39 2 7 9 17 23 24 25 27 28 31 36 37 40 1 3 8 10 18 24 25 26 28 29 32 37 38 2 4 9 11 19 25 26 27 29 30 33 38 39 3 5 10 12 20 26 27 28 30 31 34 39 40 1 4 6 11 13 21 27 28 29 31 32 35 40 1 2 5 7 12 14 22 28 29 30 32 33 36 2 3 6 8 13 15 23 29 30 31 33 34 37 3 4 7 9 14 16 24 30 31 32 34 35 38 4 5 8 10 15 17 25 31 32 33 35 36 39 5 6 9 11 16 18 26 32 33 34 36 37 40 1 6 7 10 12 17 19 27 33 34 35 37 38 2 7 8 11 13 18 20 28 34 35 36 38 39 3 8 9 12 14 19 21 29 35 36 37 39 40 1 4 9 10 13 15 20 22 30 36 37 38 40 1 2 5 10 11 14 16 21 23 31 37 38 39 2 3 6 11 12 15 17 22 24 32 38 39 40 1 3 4 7 12 13 16 18 23 25 33 39 40 1 2 4 5 8 13 14 17 19 24 26 34 40
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 5 6 7 14 15 16 23 24 25 32 33 34 1 5 6 7 17 18 19 26 27 28 35 36 37 1 5 6 7 20 21 22 29 30 31 38 39 40 1 8 9 10 14 15 16 26 27 28 38 39 40 1 8 9 10 17 18 19 29 30 31 32 33 34 1 8 9 10 20 21 22 23 24 25 35 36 37 1 11 12 13 14 15 16 29 30 31 35 36 37 1 11 12 13 17 18 19 23 24 25 38 39 40 1 11 12 13 20 21 22 26 27 28 32 33 34 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 2 5 8 11 15 18 21 24 27 30 33 36 39 2 5 8 11 16 19 22 25 28 31 34 37 40 2 6 9 12 14 17 20 24 27 30 34 37 40 2 6 9 12 15 18 21 25 28 31 32 35 38 2 6 9 12 16 19 22 23 26 29 33 36 39 2 7 10 13 14 17 20 25 28 31 33 36 39 2 7 10 13 15 18 21 23 26 29 34 37 40 2 7 10 13 16 19 22 24 27 30 32 35 38 3 5 10 12 14 19 21 25 27 29 32 37 39 3 5 10 12 15 17 22 24 26 31 33 35 40 3 5 10 12 16 18 20 23 28 30 34 36 38 3 6 8 13 14 19 21 23 28 30 33 35 40 3 6 8 13 15 17 22 25 27 29 34 36 38 3 6 8 13 16 18 20 24 26 31 32 37 39 3 7 9 11 14 19 21 24 26 31 34 36 38 3 7 9 11 15 17 22 23 28 30 32 37 39 3 7 9 11 16 18 20 25 27 29 33 35 40 4 5 9 13 14 18 22 23 27 31 33 37 38 4 5 9 13 15 19 20 24 28 29 34 35 39 4 5 9 13 16 17 21 25 26 30 32 36 40 4 6 10 11 14 18 22 25 26 30 34 35 39 4 6 10 11 15 19 20 23 27 31 32 36 40 4 6 10 11 16 17 21 24 28 29 33 37 38 4 7 8 12 14 18 22 24 28 29 32 36 40 4 7 8 12 15 19 20 25 26 30 33 37 38 4 7 8 12 16 17 21 23 27 31 34 35 39
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O
- Lösung 2
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O . . . O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O O . . . . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . O . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . O O O . . . O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . O . . . O . . O . . O . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . O . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . O . . . O . . O . . O . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . O . . O . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . O . . O . . O . O . . O . . O . . . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . . O . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O O . . . . O . O . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . . O . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O . . O . O . O . . . O . O . . . . O O . . . . O . O . . . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . . O . O . O . . . . O . . . O . O . O . . . O . O . . . . O O . . . . O . O . O . . . . O . O . . . O . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . O . O . . . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . O . O . . . O O . . . . . O O . . . O . . . O . O . . . O O . . . O . . . O O . . . . O O . . . O . . . . O O . . . O . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . O . . . O . . . O . . . O . O . . . O O . . O . . . O . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . . O . O . . . O O . . . O . . . O O . . O . . . O . . . O O . . . O . . . O . . . O . O . . . O O . . . . O O . . . O . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . . . O . . O O . . . O . O . . . O . . . O . O . . . O O . . O . . . O . . . O . . . O . . O O . . . O . . O . . . O O . . . . O O . . . O . . O . . . O O . . . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . O . . . O . . . O . . O O . . . O .
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 2 3 5 6 9 14 15 18 20 25 27 35
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2
- Lösung 2
5 14 28
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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