(39,19,9)-Blockplan

Der (39,19,9)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 39 × 39 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 19 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 9 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 39, k = 19, λ = 9), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(39,19,9)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 10 genannt.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 39, k = 19, λ = 9 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 39 Blöcken und 39 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 19 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 9 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 19 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 9 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens 5,87·1014 nichtisomorphe 2-(39,19,9) - Blockpläne[1]. Drei dieser Lösungen sind:

  • Lösung 1 mit der Signatur 19·18, 19·30, 1·684. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 2 mit der Signatur 4·6, 12·10, 12·14, 4·18, 3·24, 3·40, 1·84. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 3 mit der Signatur 4·8, 9·12, 8·16, 9·20, 4·24, 1·36, 1·40, 1·44, 1·68, 1·72. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  2   5   6   7   8  10  12  17  18  20  22  25  26  27  28  30  32  37  38
  3   6   7   8   9  11  13  18  19  20  23  26  27  28  29  31  33  38  39
  1   4   7   8   9  10  12  14  19  20  21  24  27  28  29  30  32  34  39
  1   2   5   8   9  10  11  13  15  20  21  22  25  28  29  30  31  33  35
  2   3   6   9  10  11  12  14  16  20  22  23  26  29  30  31  32  34  36
  3   4   7  10  11  12  13  15  17  20  23  24  27  30  31  32  33  35  37
  4   5   8  11  12  13  14  16  18  20  24  25  28  31  32  33  34  36  38
  5   6   9  12  13  14  15  17  19  20  25  26  29  32  33  34  35  37  39
  1   6   7  10  13  14  15  16  18  20  21  26  27  30  33  34  35  36  38
  2   7   8  11  14  15  16  17  19  20  22  27  28  31  34  35  36  37  39
  1   3   8   9  12  15  16  17  18  20  21  23  28  29  32  35  36  37  38
  2   4   9  10  13  16  17  18  19  20  22  24  29  30  33  36  37  38  39
  1   3   5  10  11  14  17  18  19  20  21  23  25  30  31  34  37  38  39
  1   2   4   6  11  12  15  18  19  20  21  22  24  26  31  32  35  38  39
  1   2   3   5   7  12  13  16  19  20  21  22  23  25  27  32  33  36  39
  1   2   3   4   6   8  13  14  17  20  21  22  23  24  26  28  33  34  37
  2   3   4   5   7   9  14  15  18  20  22  23  24  25  27  29  34  35  38
  3   4   5   6   8  10  15  16  19  20  23  24  25  26  28  30  35  36  39
  1   4   5   6   7   9  11  16  17  20  21  24  25  26  27  29  31  36  37
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  2   5   6   7   8  10  12  17  18  21  23  24  29  31  33  34  35  36  39
  3   6   7   8   9  11  13  18  19  21  22  24  25  30  32  34  35  36  37
  1   4   7   8   9  10  12  14  19  22  23  25  26  31  33  35  36  37  38
  1   2   5   8   9  10  11  13  15  23  24  26  27  32  34  36  37  38  39
  2   3   6   9  10  11  12  14  16  21  24  25  27  28  33  35  37  38  39
  3   4   7  10  11  12  13  15  17  21  22  25  26  28  29  34  36  38  39
  4   5   8  11  12  13  14  16  18  21  22  23  26  27  29  30  35  37  39
  5   6   9  12  13  14  15  17  19  21  22  23  24  27  28  30  31  36  38
  1   6   7  10  13  14  15  16  18  22  23  24  25  28  29  31  32  37  39
  2   7   8  11  14  15  16  17  19  21  23  24  25  26  29  30  32  33  38
  1   3   8   9  12  15  16  17  18  22  24  25  26  27  30  31  33  34  39
  2   4   9  10  13  16  17  18  19  21  23  25  26  27  28  31  32  34  35
  1   3   5  10  11  14  17  18  19  22  24  26  27  28  29  32  33  35  36
  1   2   4   6  11  12  15  18  19  23  25  27  28  29  30  33  34  36  37
  1   2   3   5   7  12  13  16  19  24  26  28  29  30  31  34  35  37  38
  1   2   3   4   6   8  13  14  17  25  27  29  30  31  32  35  36  38  39
  2   3   4   5   7   9  14  15  18  21  26  28  30  31  32  33  36  37  39
  3   4   5   6   8  10  15  16  19  21  22  27  29  31  32  33  34  37  38
  1   4   5   6   7   9  11  16  17  22  23  28  30  32  33  34  35  38  39
  • Lösung 2
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29
  1   2   3   4  10  11  12  13  14  20  21  22  23  24  30  31  32  33  34
  1   2   3   5  10  15  16  17  18  20  21  22  23  25  30  35  36  37  38
  1   2   6   7  11  12  15  16  19  20  21  22  26  27  31  32  35  36  39
  1   3   6   7  13  14  17  18  19  20  21  23  26  27  33  34  37  38  39
  1   4   5   8  11  13  15  17  19  20  21  24  25  28  31  33  35  37  39
  1   4   5   9  12  14  16  18  19  20  21  24  25  29  32  34  36  38  39
  1   6   8   9  10  11  14  16  17  20  21  26  28  29  30  31  34  36  37
  1   7   8   9  10  12  13  15  18  20  21  27  28  29  30  32  33  35  38
  2   3   8   9  11  14  15  18  19  20  22  23  28  29  31  34  35  38  39
  2   4   6   8  10  12  17  18  19  20  22  24  26  28  30  32  37  38  39
  2   4   7   9  11  13  16  17  18  20  22  24  27  29  31  33  36  37  38
  2   5   6   9  12  13  14  15  17  20  22  25  26  29  32  33  34  35  37
  2   5   7   8  10  13  14  16  19  20  22  25  27  28  30  33  34  36  39
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  23  24  26  29  30  33  35  36  39
  3   4   7   8  12  14  15  16  17  20  23  24  27  28  32  34  35  36  37
  3   5   6   8  11  12  13  16  18  20  23  25  26  28  31  32  33  36  38
  3   5   7   9  10  11  12  17  19  20  23  25  27  29  30  31  32  37  39
  4   5   6   7  10  11  14  15  18  20  24  25  26  27  30  31  34  35  38
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39
  1   2   3   4  10  11  12  13  14  25  26  27  28  29  35  36  37  38  39
  1   2   3   5  10  15  16  17  18  24  26  27  28  29  31  32  33  34  39
  1   2   6   7  11  12  15  16  19  23  24  25  28  29  30  33  34  37  38
  1   3   6   7  13  14  17  18  19  22  24  25  28  29  30  31  32  35  36
  1   4   5   8  11  13  15  17  19  22  23  26  27  29  30  32  34  36  38
  1   4   5   9  12  14  16  18  19  22  23  26  27  28  30  31  33  35  37
  1   6   8   9  10  11  14  16  17  22  23  24  25  27  32  33  35  38  39
  1   7   8   9  10  12  13  15  18  22  23  24  25  26  31  34  36  37  39
  2   3   8   9  11  14  15  18  19  21  24  25  26  27  30  32  33  36  37
  2   4   6   8  10  12  17  18  19  21  23  25  27  29  31  33  34  35  36
  2   4   7   9  11  13  16  17  18  21  23  25  26  28  30  32  34  35  39
  2   5   6   9  12  13  14  15  17  21  23  24  27  28  30  31  36  38  39
  2   5   7   8  10  13  14  16  19  21  23  24  26  29  31  32  35  37  38
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  21  22  25  27  28  31  32  34  37  38
  3   4   7   8  12  14  15  16  17  21  22  25  26  29  30  31  33  38  39
  3   5   6   8  11  12  13  16  18  21  22  24  27  29  30  34  35  37  39
  3   5   7   9  10  11  12  17  19  21  22  24  26  28  33  34  35  36  38
  4   5   6   7  10  11  14  15  18  21  22  23  28  29  32  33  36  37  39
  • Lösung 3
  1   5   6  12  14  15  16  17  19  20  21  25  26  32  34  35  36  37  39
  2   5   7  10  12  13  14  18  19  20  22  25  27  30  32  33  34  38  39
  3   5   8  10  11  12  13  16  17  20  23  25  28  30  31  32  33  36  37
  4   5   9  11  13  15  16  18  19  20  24  25  29  31  33  35  36  38  39
  1   2   3   4  10  16  17  18  19  20  21  22  23  24  30  36  37  38  39
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  2   6   8   9  11  12  17  18  19  20  22  26  28  29  31  32  37  38  39
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  1   2   4   8   9  12  13  14  16  20  21  22  24  28  29  32  33  34  36
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  1   5   6  12  14  15  16  17  19  22  23  24  27  28  29  30  31  33  38
  2   5   7  10  12  13  14  18  19  21  23  24  26  28  29  31  35  36  37
  3   5   8  10  11  12  13  16  17  21  22  24  26  27  29  34  35  38  39
  4   5   9  11  13  15  16  18  19  21  22  23  26  27  28  30  32  34  37
  1   2   3   4  10  16  17  18  19  25  26  27  28  29  31  32  33  34  35
  1   7   8   9  10  13  15  17  19  22  23  24  25  26  31  32  34  36  38
  2   6   8   9  11  12  17  18  19  21  23  24  25  27  30  33  34  35  36
  3   6   7   9  13  14  16  17  18  21  22  24  25  28  30  31  32  35  39
  4   6   7   8  10  12  15  16  18  21  22  23  25  29  31  33  34  37  39
  2   3   7   8  11  14  15  16  19  21  24  25  26  29  30  32  33  37  38
  3   4   5   6   8   9  10  14  19  21  22  27  31  32  33  35  36  37  38
  1   2   3   5   6   8  13  15  18  24  27  29  30  31  32  34  36  37  39
  2   3   4   5   7   9  12  15  17  21  26  28  30  31  33  34  36  38  39
  1   2   5   6   7   9  10  11  16  23  24  28  32  33  34  35  37  38  39
  1   4   5   7   8  11  14  17  18  22  23  26  29  30  32  33  35  36  39
  1   3   4   6   7  11  12  13  19  22  25  28  29  30  34  35  36  37  38
  1   3   9  10  11  12  14  15  18  22  24  25  26  27  28  33  36  37  39
  2   4   6  10  11  13  14  15  17  21  23  25  27  28  29  32  36  38  39
  1   2   4   8   9  12  13  14  16  23  25  26  27  30  31  35  37  38  39

Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
. O . . O O O O . O . O . . . . O O . O . O . . O O O O . O . O . . . . O O .
. . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O
O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O
O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . .
. O O . . O . . O O O O . O . O . . . O . O O . . O . . O O O O . O . O . . .
. . O O . . O . . O O O O . O . O . . O . . O O . . O . . O O O O . O . O . .
. . . O O . . O . . O O O O . O . O . O . . . O O . . O . . O O O O . O . O .
. . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O
O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O .
. O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O
O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O .
. O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O
O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O
O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O
O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O
O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . .
. O O O O . O . O . . . . O O . . O . O . O O O O . O . O . . . . O O . . O .
. . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O
O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . .
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . O O O O . . O
. . O . . O O O O . O . O . . . . O O . O O . O O . . . . O . O . O O O O . .
O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O O .
O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . . . O O . O O . . . . O . O . O O O O
. O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O
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O . . . . O O . . O . . O O O O . O . . . O O O O . . O O . O O . . . . O . O
. O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O O O O . . O O . O O . . . . O .
O . O . . . . O O . . O . . O O O O . . . O . O O O O . . O O . O O . . . . O
. O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O O O O . . O O . O O . . . .
O . O . O . . . . O O . . O . . O O O . . O . O . O O O O . . O O . O O . . .
O O . O . O . . . . O O . . O . . O O . . . O . O . O O O O . . O O . O O . .
O O O . O . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . O O O O . . O O . O O .
O O O O . O . O . . . . O O . . O . . . . . . . O . O . O O O O . . O O . O O
. O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . O O O O . . O O . O
. . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . O O O O . . O O .
O . . O O O O . O . O . . . . O O . . . . O O . . . . O . O . O O O O . . O O
  • Lösung 2
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . .
O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . .
O O O . O . . . . O . . . . O O O O . O O O O . O . . . . O . . . . O O O O .
O O . . . O O . . . O O . . O O . . O O O O . . . O O . . . O O . . O O . . O
O . O . . O O . . . . . O O . . O O O O O . O . . O O . . . . . O O . . O O O
O . . O O . . O . . O . O . O . O . O O O . . O O . . O . . O . O . O . O . O
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O . . . . . O O O O . O O . O . . O . O O . . . . . O O O O . O O . O . . O .
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. O . O . O . O . O . O . . . . O O O O . O . O . O . O . O . O . . . . O O O
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. O . . O O . . O . . O O O O . O . . O . O . . O O . . O . . O O O O . O . .
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. . O O . O . . O O . . O . O O . . O O . . O O . O . . O O . . O . O O . . O
. . O O . . O O . . . O . O O O O . . O . . O O . . O O . . . O . O O O O . .
. . O . O O . O . . O O O . . O . O . O . . O . O O . O . . O O O . . O . O .
. . O . O . O . O O O O . . . . O . O O . . O . O . O . O O O O . . . . O . O
. . . O O O O . . O O . . O O . . O . O . . . O O O O . . O O . . O O . . O .
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O
O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O
O O O . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . O . O O O O . O O O O . . . . O
O O . . . O O . . . O O . . O O . . O . . . O O O . . O O O . . O O . . O O .
O . O . . O O . . . . . O O . . O O O . . O . O O . . O O O O O . . O O . . .
O . . O O . . O . . O . O . O . O . O . . O O . . O O . O O . O . O . O . O .
O . . O O . . . O . . O . O . O . O O . . O O . . O O O . O O . O . O . O . .
O . . . . O . O O O O . . O . O O . . . . O O O O . O . . . . O O . O . . O O
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. O . O . . O . O . O . O . . O O O . . O . O . O O . O . O . O . O O . . . O
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. . O O . O . . O O . . O . O O . . O . O O . . O . O O . . O O . O . . O O .
. . O O . . O O . . . O . O O O O . . . O O . . O O . . O O O . O . . . . O O
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. . . O O O O . . O O . . O O . . O . . O O O . . . . O O . . O O . . O O . O
  • Lösung 3
O . . . O O . . . . . O . O O O O . O O O . . . O O . . . . . O . O O O O . O
. O . . O . O . . O . O O O . . . O O O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O
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O O O O . . . . . O . . . . . O O O O O O O O O . . . . . O . . . . . O O O O
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O O O . O O . O . . . . O . O . . O . O O O O . O O . O . . . . O . O . . O .
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O . O O . O O . . . O O O . . . . . O O O . O O . O O . . . O O O . . . . . O
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O O . O . . . O O . . O O O . O . . . O O O . O . . . O O . . O O O . O . . .
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O . . . O O . . . . . O . O O O O . O . . O O O . . O O O O O . O . . . . O .
. O . . O . O . . O . O O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . . . O O O . .
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O O O O . . . . . O . . . . . O O O O . . . . . O O O O O . O O O O O . . . .
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O O O . O O . O . . . . O . O . . O . . . . . O . . O . O O O O . O . O O . O
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O O . . O O O . O O O . . . . O . . . . . . O O . . . O . . . O O O O . O O O
O . . O O . O O . . O . . O . . O O . . . O O . . O . . O O . O O . O O . . O
O . O O . O O . . . O O O . . . . . O . . O . . O . . O O O . . . O O O O O .
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O O . O . . . O O . . O O O . O . . . . . . O . O O O . . O O . . . O . O O O

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2
  • Lösung 2
  1   2
  • Lösung 3
  1   2

Literatur

Einzelnachweise
  1. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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