(121,40,13)-Blockplan

Dieser Blockplan hat die Parameter v = 121, k = 40, λ = 13 und damit folgende Eigenschaften:

• Er besteht aus 121 Blöcken und 121 Punkten.
• Jeder Block enthält genau 40 Punkte.
• Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 13 Punkten.
• Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken.
• Je 2 Punkte sind durch genau 13 Blöcke verbunden.

Es existieren mindestens 10²⁹ nichtisomorphe 2-(121,40,13)-Blockpläne[1]. Vier dieser Lösungen sind:

• Lösung 1 mit der Signatur 121·40/20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
• Lösung 2 mit der Signatur 121·40/18720. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
• Lösung 3 mit der Signatur 121·40/40. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
• Lösung 4 mit der Signatur 121·20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

• Lösung 1

1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117
2 4 5 6 10 13 14 15 16 17 18 23 24 28 33 35 37 40 43 46 47 49 52 65 67 70 72 78 82 83 86 87 89 93 97 103 109 110 111 118
3 5 6 7 11 14 15 16 17 18 19 24 25 29 34 36 38 41 44 47 48 50 53 66 68 71 73 79 83 84 87 88 90 94 98 104 110 111 112 119
4 6 7 8 12 15 16 17 18 19 20 25 26 30 35 37 39 42 45 48 49 51 54 67 69 72 74 80 84 85 88 89 91 95 99 105 111 112 113 120
5 7 8 9 13 16 17 18 19 20 21 26 27 31 36 38 40 43 46 49 50 52 55 68 70 73 75 81 85 86 89 90 92 96 100 106 112 113 114 121
1 6 8 9 10 14 17 18 19 20 21 22 27 28 32 37 39 41 44 47 50 51 53 56 69 71 74 76 82 86 87 90 91 93 97 101 107 113 114 115
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3 8 10 11 12 16 19 20 21 22 23 24 29 30 34 39 41 43 46 49 52 53 55 58 71 73 76 78 84 88 89 92 93 95 99 103 109 115 116 117
4 9 11 12 13 17 20 21 22 23 24 25 30 31 35 40 42 44 47 50 53 54 56 59 72 74 77 79 85 89 90 93 94 96 100 104 110 116 117 118
5 10 12 13 14 18 21 22 23 24 25 26 31 32 36 41 43 45 48 51 54 55 57 60 73 75 78 80 86 90 91 94 95 97 101 105 111 117 118 119
6 11 13 14 15 19 22 23 24 25 26 27 32 33 37 42 44 46 49 52 55 56 58 61 74 76 79 81 87 91 92 95 96 98 102 106 112 118 119 120
7 12 14 15 16 20 23 24 25 26 27 28 33 34 38 43 45 47 50 53 56 57 59 62 75 77 80 82 88 92 93 96 97 99 103 107 113 119 120 121
1 8 13 15 16 17 21 24 25 26 27 28 29 34 35 39 44 46 48 51 54 57 58 60 63 76 78 81 83 89 93 94 97 98 100 104 108 114 120 121
1 2 9 14 16 17 18 22 25 26 27 28 29 30 35 36 40 45 47 49 52 55 58 59 61 64 77 79 82 84 90 94 95 98 99 101 105 109 115 121
1 2 3 10 15 17 18 19 23 26 27 28 29 30 31 36 37 41 46 48 50 53 56 59 60 62 65 78 80 83 85 91 95 96 99 100 102 106 110 116
2 3 4 11 16 18 19 20 24 27 28 29 30 31 32 37 38 42 47 49 51 54 57 60 61 63 66 79 81 84 86 92 96 97 100 101 103 107 111 117
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4 5 6 13 18 20 21 22 26 29 30 31 32 33 34 39 40 44 49 51 53 56 59 62 63 65 68 81 83 86 88 94 98 99 102 103 105 109 113 119
5 6 7 14 19 21 22 23 27 30 31 32 33 34 35 40 41 45 50 52 54 57 60 63 64 66 69 82 84 87 89 95 99 100 103 104 106 110 114 120
6 7 8 15 20 22 23 24 28 31 32 33 34 35 36 41 42 46 51 53 55 58 61 64 65 67 70 83 85 88 90 96 100 101 104 105 107 111 115 121
1 7 8 9 16 21 23 24 25 29 32 33 34 35 36 37 42 43 47 52 54 56 59 62 65 66 68 71 84 86 89 91 97 101 102 105 106 108 112 116
2 8 9 10 17 22 24 25 26 30 33 34 35 36 37 38 43 44 48 53 55 57 60 63 66 67 69 72 85 87 90 92 98 102 103 106 107 109 113 117
3 9 10 11 18 23 25 26 27 31 34 35 36 37 38 39 44 45 49 54 56 58 61 64 67 68 70 73 86 88 91 93 99 103 104 107 108 110 114 118
4 10 11 12 19 24 26 27 28 32 35 36 37 38 39 40 45 46 50 55 57 59 62 65 68 69 71 74 87 89 92 94 100 104 105 108 109 111 115 119
5 11 12 13 20 25 27 28 29 33 36 37 38 39 40 41 46 47 51 56 58 60 63 66 69 70 72 75 88 90 93 95 101 105 106 109 110 112 116 120
6 12 13 14 21 26 28 29 30 34 37 38 39 40 41 42 47 48 52 57 59 61 64 67 70 71 73 76 89 91 94 96 102 106 107 110 111 113 117 121
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3 9 15 16 17 24 29 31 32 33 37 40 41 42 43 44 45 50 51 55 60 62 64 67 70 73 74 76 79 92 94 97 99 105 109 110 113 114 116 120
4 10 16 17 18 25 30 32 33 34 38 41 42 43 44 45 46 51 52 56 61 63 65 68 71 74 75 77 80 93 95 98 100 106 110 111 114 115 117 121
1 5 11 17 18 19 26 31 33 34 35 39 42 43 44 45 46 47 52 53 57 62 64 66 69 72 75 76 78 81 94 96 99 101 107 111 112 115 116 118
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• Lösung 3

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• Lösung 4

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4 6 11 16 20 21 29 32 33 34 35 36 49 53 56 59 60 61 67 68 69 72 75 77 78 79 81 83 86 88 89 91 95 101 106 110 112 116 119 120
5 7 12 17 21 22 30 33 34 35 36 37 50 54 57 60 61 62 68 69 70 73 76 78 79 80 82 84 87 89 90 92 96 102 107 111 113 117 120 121
1 6 8 13 18 22 23 31 34 35 36 37 38 51 55 58 61 62 63 69 70 71 74 77 79 80 81 83 85 88 90 91 93 97 103 108 112 114 118 121
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2 6 9 10 15 17 22 27 31 32 40 43 44 45 46 47 60 64 67 70 71 72 78 79 80 83 86 88 89 90 92 94 97 99 100 102 106 112 117 121
1 3 7 10 11 16 18 23 28 32 33 41 44 45 46 47 48 61 65 68 71 72 73 79 80 81 84 87 89 90 91 93 95 98 100 101 103 107 113 118
2 4 8 11 12 17 19 24 29 33 34 42 45 46 47 48 49 62 66 69 72 73 74 80 81 82 85 88 90 91 92 94 96 99 101 102 104 108 114 119
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1 5 11 16 20 22 26 29 30 35 37 42 47 51 52 60 63 64 65 66 67 80 84 87 90 91 92 98 99 100 103 106 108 109 110 112 114 117 119 120
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1 3 7 13 18 22 24 28 31 32 37 39 44 49 53 54 62 65 66 67 68 69 82 86 89 92 93 94 100 101 102 105 108 110 111 112 114 116 119 121
1 2 4 8 14 19 23 25 29 32 33 38 40 45 50 54 55 63 66 67 68 69 70 83 87 90 93 94 95 101 102 103 106 109 111 112 113 115 117 120
2 3 5 9 15 20 24 26 30 33 34 39 41 46 51 55 56 64 67 68 69 70 71 84 88 91 94 95 96 102 103 104 107 110 112 113 114 116 118 121
1 3 4 6 10 16 21 25 27 31 34 35 40 42 47 52 56 57 65 68 69 70 71 72 85 89 92 95 96 97 103 104 105 108 111 113 114 115 117 119
2 4 5 7 11 17 22 26 28 32 35 36 41 43 48 53 57 58 66 69 70 71 72 73 86 90 93 96 97 98 104 105 106 109 112 114 115 116 118 120
3 5 6 8 12 18 23 27 29 33 36 37 42 44 49 54 58 59 67 70 71 72 73 74 87 91 94 97 98 99 105 106 107 110 113 115 116 117 119 121
1 4 6 7 9 13 19 24 28 30 34 37 38 43 45 50 55 59 60 68 71 72 73 74 75 88 92 95 98 99 100 106 107 108 111 114 116 117 118 120
2 5 7 8 10 14 20 25 29 31 35 38 39 44 46 51 56 60 61 69 72 73 74 75 76 89 93 96 99 100 101 107 108 109 112 115 117 118 119 121
1 3 6 8 9 11 15 21 26 30 32 36 39 40 45 47 52 57 61 62 70 73 74 75 76 77 90 94 97 100 101 102 108 109 110 113 116 118 119 120
2 4 7 9 10 12 16 22 27 31 33 37 40 41 46 48 53 58 62 63 71 74 75 76 77 78 91 95 98 101 102 103 109 110 111 114 117 119 120 121
1 3 5 8 10 11 13 17 23 28 32 34 38 41 42 47 49 54 59 63 64 72 75 76 77 78 79 92 96 99 102 103 104 110 111 112 115 118 120 121
1 2 4 6 9 11 12 14 18 24 29 33 35 39 42 43 48 50 55 60 64 65 73 76 77 78 79 80 93 97 100 103 104 105 111 112 113 116 119 121
1 2 3 5 7 10 12 13 15 19 25 30 34 36 40 43 44 49 51 56 61 65 66 74 77 78 79 80 81 94 98 101 104 105 106 112 113 114 117 120
2 3 4 6 8 11 13 14 16 20 26 31 35 37 41 44 45 50 52 57 62 66 67 75 78 79 80 81 82 95 99 102 105 106 107 113 114 115 118 121

Es existieren zyklische Darstellungen (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie sind isomorph zur jeweiligen obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

• Lösung 1

  1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117

• Lösung 2

  1 3 4 7 9 11 12 13 21 25 27 33 34 36 39 44 55 63 64 67 68 70 71 75 80 81 82 83 85 89 92 99 102 103 104 108 109 115 117 119

• Lösung 3

  1 3 4 7 8 9 12 21 24 25 26 27 34 36 40 43 49 63 64 68 70 71 72 75 78 81 82 83 89 92 94 95 97 102 104 108 112 113 118 120

• Lösung 4

  1 3 4 5 7 9 12 14 15 17 21 27 32 36 38 42 45 46 51 53 58 63 67 68 76 79 80 81 82 83 96 100 103 106 107 108 114 115 116 119

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

• Lösung 1

  1   2

• Lösung 2

  1   2

• Lösung 3

  1   2

• Lösung 4

  1   2

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

1. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.